设 $f: V \to K$ 是从一个向量空间 $V$ 到域 $K$ 的映射。如果对于 $V$ 中任何有限的线性无关的集合 $\{e_1,\dots,e_s\}$ 有 $f(x_1e_1 + \dots x_s e_s)$ 是一个关于 $x_1,\dots, x_s$ 的次数为 $\le d$ 的多项式，那么我们称 $f$ 是次数 $\le d$ 的多项式函数。如果进一步存在一组线性无关集合，使得 $f(x_1e_1+ \dots + x_se_s)$ 是 $d$ 次多项式，那么就称 $f$ 是次数为 $d$ 的多项式函数。类似可以定义次数为 $d$ 的齐次多项式函数。
设 $V$ 是一个无限域上的向量空间，并且设 $f:V \to K$ 是一个函数使得对所有 $v,w\in V$, \begin{aligned} K &\to K \\ x &\mapsto f(xv+w)) \end{aligned} 是关于 $x$ 的多项式并且系数在 $K$ 中，那么 $f$ 是一个多项式函数。