View Categories

自同态

4 分钟阅读时长

内容目录
对于任意 Abel 簇 $A$, 存在单 Abel 子簇 $A_1,\dots, A_n \subset A$ 使得 \begin{aligned} A_t \times \dots \times A_n &\to A \\ (a_1,\dots,a_n) &\mapsto a_1+ \dots +a_n \end{aligned}是 isogeny.

自同态的特征多项式 #

$k=\bbC$ 时的特征多项式 #

当 $k= \bbC$ 时。$A$ 的自同态 $\alpha$ 也定义了一个 $H_1(A,\bbQ)$ 的自同态，其中 $H_1(A,\bbQ)$ 时 $2g$ 维的 $\bbQ$ 向量空间。那么 $\alpha$ 的特征多项式定义为 $$P_\alpha(X) = \det (\alpha – X|H_1(A,\bbQ)).$$ 这里其实是把 $\alpha$ 看作 $H_1(A,\bbQ)$ 中的一个 $2g$ 矩阵 $M$, $X$ 对应矩阵 $X \cdot I_{2g}$, 那么 $P_\alpha(X)$也就是求行列式 $\det(M – X\cdot I_{2g})$. 这是一个次数为 $2g$ 的首一整系数多项式。

设 $A= \bbC/(\bbZ + \bbZ i)$, 那么 $H_1(A,\bbQ)$ 就是以 $(1,i)$ 为基的 $2$ 维向量空间。设 $\alpha(z) = iz$, 那么 $\alpha(1) = i,\alpha(i) = -1$. 所以 $$\alpha(1,i) = (1,i)\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1&0\end{pmatrix}.$$ 因此 $$M=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1&0\end{pmatrix}.$$ $$\det(M-X\cdot I_2) = X^2+1.$$ 我们得到 $P_\alpha(X) = X^2+1$.

考虑 $A=\bbC^g/\Lambda$, 其中 $\Lambda = H_1(A,\bbZ)$. 那么 $\mathrm{Ker}(\alpha) = \alpha^{-1}\Lambda / \Lambda$. 如果 $\alpha$ 是 isogeny，那么 $\alpha:\Lambda \to \Lambda$ 是单射，所以就是一个双射。所以有 $$\mathrm{Ker}(\alpha) = \alpha^{-1}\Lambda/ \Lambda \cong \Lambda/\alpha \Lambda.$$ 那么对于一个 isogeny $\alpha:A \to A$, $$\deg(\alpha) = |\det(\alpha| H_1(A ,\bbQ))| = |P_\alpha(0)|.$$

更一般的，对于任意整数 $r$, $$\deg (\alpha -r) = |P_\alpha(r)|.$$

设 $\alpha \in \mathrm{End}(A)$. 如果 $\alpha$ 是一个 isogeny, 我们定义 $\deg \alpha$ 就是 isogeny 的次数。如果 $\alpha$ 不是 isogeny, 那么我们就定义 $\deg \alpha =0$.

设 $\alpha \in \mathrm{End}(A)$. 存在唯一的次数为 $2g$ 的首一多项式 $P_\alpha \in \bbZ[X]$ 使得 $P_\alpha(r) = \deg (\alpha -r)$ 对于所有整数 $r$ 都成立。
唯一性是显然的，因为有无限个相同根的多项式肯定是相同的。
对于 $\alpha \in \mathrm{End}(A)$ 和 $n\in \bbZ$, $$\deg (n\alpha)= \deg (n_A)\cdot \deg (\alpha) = n^{2g} \deg(\alpha).$$ 对于 $\alpha \in \mathrm{End}^0(A) = \mathrm{End}(A) \otimes \bbQ$, 若 $n\alpha \in \mathrm{End}(A)$, 我们定义 $$\deg (\alpha) = n^{2g}\deg(n\alpha).$$ 类似对于 $\alpha \in \mathrm{End}^0(A)$, 我们可以定义 $$P_\alpha(X) = n^{2g} P_{n\alpha}(nX).$$ 那么 $P_\alpha$ 是一个次数为 $2g$ 的有理系数首一多项式，并且对于任意 $r\in \bbQ$, $$P_\alpha(r) = \deg (\alpha -r ).$$
映射 \begin{aligned} \mathrm{End}^0(A) &\to \bbQ\\ \alpha &\mapsto \deg (\alpha) \end{aligned}是 $\mathrm{End}^0(A)$ 上一个次数为 $2g$ 的齐次多项式函数。

$k\neq \bbC$ 时的特征多项式 #

设 $\alpha$ 是一个有限秩的自由 $\bbZ$ 模 $\Lambda$ 上的自同态使得 $\alpha \otimes 1: \Lambda \otimes \bbQ \to \Lambda \otimes \bbQ$ 是一个同构。那么 $$(\Lambda :\alpha \Lambda) = |\det(\alpha)|.$$
如果存在一组基， $\alpha$ 在其上的矩阵是对角矩阵，那么显然。一般情况，后面再补充。

Abel 簇的自同态代数 #

域 $K$ 上的中心单代数是一个有限维结合 $K$ 代数 $D$ 并且 $D$ 是单的, 中心 $C(D)$ 是 $D$.
中心 $C(D) = \{t \in D| \forall a \in D, ta =at\}$.
我们称域 $E$ 是一个 $K$ 上关于 $D$ 的 splitting 域，如果 $D \otimes E$ 同构于 $E$ 上的矩阵环。
任意有限维的中心单代数有一个 splitting 域。当 $D$ 是一个除代数，那么 $D$ 的极大子域是一个 splitting 域。
设 $D$ 是一个有限维的中心单代数。设 $\alpha \in D$, 因为 $D\otimes E$ 同构于 $E$ 上的矩阵环， 那么 $\alpha$ 对应一个矩阵，那么矩阵的迹和范数称为约化迹和约化范数，记为 $\mathrm{Trd}_{D/K}(\alpha), \mathrm{Nrd}_{D/K}(\alpha)$.
符号含义
$\mathrm{Tr}_{D/K}(\alpha)$线性变换的迹
$\mathrm{Nm}_{D/K}(\alpha)$线性变换的范数
$\mathrm{Trd}_{D/K}(\alpha)$约化迹
$\mathrm{Nrd}_{D/K}(\alpha)$约化范数
$P_{D/K,\alpha}(X)$特征多项式
$Prd_{D/K,\alpha}(X)$约化特征多项式
它们有以下关系。\begin{aligned} \mathrm{Tr}_{D/K}(\alpha) &=[D:K]^{1/2} \mathrm{Trd}_{D/K}(\alpha) \\ \mathrm{Nm}_{D/K}(\alpha) &=\mathrm{Nrd}_{D/K}(\alpha)^{[D:K]^{1/2}} \\ P_{D/Kj,\alpha}(X) &= Prd_{D/K,\alpha}(X)^{[D:K]} \end{aligned}
设 $K$ 是一个 $\mathrm{End}(A) \otimes \bbQ$ 的 $\bbQ$ 子代数，并且假设 $K$ 是一个域。设 $f=[K:\bbQ]$. 那么 $V_l(A)$ 是一个秩为 $(2\dim A)/f$ 的自由 $K \otimes_\bbQ \bbQ_l$ 模。因此 $\alpha$ 作为 $A$ 的自同态的迹是 $(2g/f) \mathrm{Tr}_{K/\bbQ}(\alpha)$ 和 $\deg(\alpha) = \mathrm{Nm}_{K/\bbQ}(\alpha)^{2g/f}$.
设 $\alpha\in \mathrm{End}^0(A)$, 并且假设 $\bbQ [\alpha]$ 是一个 product of fields(一些域的直积). 设 $C_\alpha(X)$ 是 $\alpha$ 作用在 $\bbQ[\alpha]$ 的特征多项式（如果 $\bbQ[\alpha]$ 是一个域，那么这也就是 $\alpha$ 的特征多项式）。那么 $$\{a\in \bbC| C_\alpha(a) =0 \} = \{a\in \bbC| P_\alpha(a) =0\}.$$

评价一下这篇文档吧！
发表回复