如果 $\alpha:A \to B$ 是一个核为 $N$ 的 isogeny，那么$\alpha^\vee: B^\vee \to A^\vee$ 是一个核为 $N^\vee$ 的 isogeny, 其中 $N^\vee$ 是 $N$ 的 Cartier 对偶。也就是说 $$0\to N \to A \to B \to 0$$会得到 $$0\to N^\vee \to B^\vee \to A^\vee \to 0.$$
当 $N$ 的阶数和 $k$ 的特征互素，那么 $$N^\vee = \mathrm{Hom}(N,\mu_n(k^{sep})).$$其中 $n$ 是任意满足 $nN=0$ 的整数，$\mu_n$ 是 $k^{sep}$ 的 $n$ 次单位根。
设 $G(\calL)$ 为 $L$ 去掉零截面。那么对于一些 $G(\calL)$ 的 $k$-rational 点 $e$， $m_L $ 和恒等元 $e$ 定义了 $G(\calL)$ 上的交换群簇结构。$G(\calL)$ 是 extension of $A$ by $\mathbb{G}_m$. 即 $$E(\calL): 0 \to \mathbb{G}_m \to G(\calL) \to A \to 0.$$
映射 $\calL \to E(\calL)$ 定义了一个同构 $$\mathrm{Pic}^0(A) \to \mathrm{Ext}^1_k(A, \mathbb{G}_m).$$