设 $A$ 是一个 Abel 群， $p$ 是一个素数，那么我们定义 $p$-进 Tate 模为 $$T_p(A) = \varprojlim A[p^n].$$
其中 $A[p^n]$ 是 $A$ 的 $p^n$ 挠子群， $n$ 取遍正整数。$T_p(A)$ 看作 $\bbZ_p$ 模。设 $z \in \bbZ_p$，那么 $z(a_n)_n = ((z\mod p^n) a_n)_n$.
其中 $A[p^n]$ 是 $A$ 的 $p^n$ 挠子群， $n$ 取遍正整数。$T_p(A)$ 看作 $\bbZ_p$ 模。设 $z \in \bbZ_p$，那么 $z(a_n)_n = ((z\mod p^n) a_n)_n$.
Abel 簇上的 Tate 模 #
设 $k$ 是一个 可分闭域。对于不整除 $k$ 的特征的 $n$ , 我们定义 $$A_n(k) := \mathrm{Ker}(n: A(k) \to A(k))$$
阶数为 $n^{2g}$. $A_n(k)$ 是一个秩为 $2g$ 的自由 $\bbZ/n\bbZ$ 模。
考虑 $\bbC$, 那么 $$A_n(\mathbb{C}) \cong \left( \frac{1}{n}\Lambda \right) / \Lambda$$因为 $\Lambda \cong \mathbb{Z}^{2g}$，所以 $\frac{1}{n}\Lambda \cong (\frac{1}{n}\mathbb{Z})^{2g}$。就得到：$$A_n(\mathbb{C}) \cong (\frac{1}{n}\mathbb{Z} / \mathbb{Z})^{2g} \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{2g}$$
固定 $l\neq \mathrm{char}(k)$, 那么我们定义 $$T_l A = \varprojlim A_{l^n}(k).$$ $T_l A$ 中的元素是一个无穷序列 $$(a_1,a_2,\dots ,a_n ,\dots),a_n \in A(k),$$
其中 $la_n = a_{n-1}, la_1 = 0$. $T_lA$ 是一个秩为 $2g$ 的 $\bbZ_l$ 模，称为 $A$ 的 Tate 模。
当 $k$ 不是可分闭域，那么我们定义 $$T_lA = \varprojlim A_{l^n} (k^{sep}).$$其中 $k^{sep}$ 是 $k$ 的可分闭包。
$T_lA$ 的表示 #
设 $Q$ 是一个挠 Abel 群，设 $Q_n$ 是所有阶数整除 $n$ 的元素构成的子群。假设存在一个整数 $d$ 使得 $|Q_n| = n^d$ 对所有 $n$ 都成立，那么 $Q \cong (\bbQ/\bbZ)^d$.
设 $Q$ 是一个 $l$-准素挠群。假设 $|Q_{l^n}|= (l^n)^d$ 对所有 $n>0$ 都成立。设 $l^{-\infty} \bbZ = \bigcup l^{-n} \bbZ$, 显然 $l^{- \infty }\bbZ \subseteq \bbQ$. 那么 $$Q \approx (l^{-\infty} \bbZ/ \bbZ)^d \cong (\bbQ_l/\bbZ_l)^d.$$
对于 $l\neq \mathrm{char}(k)$, $T_lA$ 是一个秩为 $2g$ 的自由 $\bbZ_l$ 模。
$\mathrm{Hom}(T_lA,T_lB) = 4\dim A \dim B$.
对任意素数 $l\neq \mathrm{char}(k)$, 自然映射 $$\mathrm{Hom}(A,B) \to \mathrm{Hom}_{\bbZ_l}(T_lA, T_lB)$$ 是单射。特别的， $\mathrm{Hom}(A,B)$ 是无挠(torsion-free)的。
设 $k=\bbC$. 那么\begin{aligned} T_lA &\cong \varprojlim l^{-n} \Lambda/ \Lambda \\ &\cong \varprojlim \Lambda \otimes l^{-n} \bbZ/ \bbZ\\ &\cong\Lambda \otimes \varprojlim l^{-n}\bbZ / \bbZ \\ &\cong \Lambda \otimes \bbZ_l. \end{aligned} 又因为当 $k = \bbC$ 的时候， $\Lambda = H_1(A,\bbZ)$, 所以 $T_lA \cong H_1(A,\bbZ) \otimes \bbZ_l$。
对于 Abel 簇 $A$ 和 $B$ 并且 $l\neq \mathrm{char}(k)$, 自然映射 $$\mathrm{Hom}(A,B) \otimes \bbZ_l \to \mathrm{Hom}(T_lA, T_l B)$$ 是单射，余核是无挠的。因此 $\mathrm{Hom}(A,B)$ 是有限秩 $\le 4 \dim A \dim B$ 的自由 $\bbZ$ 模。
假设 $\alpha: A \to B$ 是一个可分 isogeny 使得 $\mathrm{Ker}(\alpha) \supset A_n)$. 那么存在一些 isogeny $\beta: A \to B$ 使得 $\alpha = \beta \circ n_A$。 这时我们称 $\alpha$ 在 $\mathrm{Hom}(A,B)$ 中可以被 $n$ 整除。
设 $\alpha \in \mathrm{Hom}(A,B)$, 如果 $\alpha$ 被 $l^n$ 在 $\mathrm{Hom}(T_lA, T_lB)$ 中被整除，那么 $\alpha$ 就在 $\mathrm{Hom}(A,B)$ 中被整除。
设 $P(X) = \prod (X – a_i)$ 和 $Q(X) = \prod (X -b_i)$ 是具有相同次数的系数在 $\bbQ_l$ 的首一多项式。如果 $|\prod_i F(a_i)|_l=|\prod_i F(b_i)|_l$ 对于所有 $F \in \bbZ[T]$ 都成立，那么 $P = Q$.
$V_lA = T_lA \otimes_{\bbZ_l} \bbQ_l=T_lA \otimes_\bbZ \bbQ$.
对于所有 $l \neq \mathrm{char}(k)$, $P_\alpha(X)$ 是 $\alpha$ 在 $V_l$ 上的特征多项式。那么 $\alpha$ 作为 isogeny 的迹和次数正是 $\alpha$ 在 $V_l$ 上作为线性变换的迹和行列式。
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