设 $X$ 是一个概形。$X$ 上的 $k$-cycle 是如下的形式和 $$\sum n_i[V_i]$$其中 $V_i$ 是 $X$ 的 $k$ 维子簇，$n_i$ 是整数。所有 $k$-圈构成的群记为 $Z_kX$，这是一个自由 Abel 群.
设 $W$ 是 $X$ 的一个 $k+1$ 维子概形。那么设 $r\in R(W)^*$，我们可以定义 $$[\mathrm{div}(r)] = \mathrm{ord}_V(r) [V]$$
它是一个 $k$-cycle.
它是一个 $k$-cycle.
一个 $k$-圈 $\alpha$ 称为有理等价于 $0$, 如果存在 $X$ 的 $k+1$ 维子簇 $W_1,\dots ,W_s$ 和 $r_1\in R(W_1)^*,\dots, r_s \in R(W_s)^*$ 使得 $$\alpha = \sum [\mathrm{div}(r)].$$ 所有有理等价于 $0$ 的 $k$-圈构成一个群，是 $Z_kX$ 的子群，我们记为 $\mathrm{Rat}_kX$.
商去有理等价的 $k$-圈构成的群 $$A_kX = Z_kX/\mathrm{Rat}_kX.$$
$Z_*X = \bigoplus_{k=0}^{\dim X} Z_kX$, $A_*X = \bigoplus_{k=0}^{\dim X} A_kX$.
一个圈称为正的，如果它非零且每个系数都是正整数。一个圈类称为整的，如果它可以被一个正的圈表示。
(a) 一个概形及其底层的既约概形具有相同的子簇，因此（代数）闭链群和有理等价类是典范同构的：$$A_k(X) \cong A_k(X_{\text{red}}).$$(b) 如果 $X$ 是概形 $X_1, \dots, X_t$ 的不交并，那么 $Z_*X = \oplus Z_*X_i$ 且$$A_k X = \bigoplus_{i=1}^t A_k(X_i).$$
(c) 如果 $X_1$ 和 $X_2$ 是 $X$ 的闭子概形，那么存在正合序列$$A_k(X_1 \cap X_2) \to A_k X_1 \oplus A_k X_2 \to A_k(X_1 \cup X_2) \to 0.$$
(c) 如果 $X_1$ 和 $X_2$ 是 $X$ 的闭子概形，那么存在正合序列$$A_k(X_1 \cap X_2) \to A_k X_1 \oplus A_k X_2 \to A_k(X_1 \cup X_2) \to 0.$$