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p 进几何

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pp 进几何

p进几何

  • 来自Kuromi 233
  • 2025年12月9日
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  • 1 Tate代数
  • 其中 $n$ 为 $n$ 元组 $(n_1, \dots, n_d)$ 以及 $T^n = T^{n_1} \dots T^{n_d}$。
  • 引理 2. 对于 $f \in K[[T_1, \dots, T_d]]$ 在 $D^d(\overline{K})$ 中收敛当且仅当 $f$ 在 Tate 代数。
    • 1.1 Tate代数的拓扑
  • 2. 满足乘法性质。
  • 命题 1. Tate代数 $T_{d,K}$ 相对于高斯范数完备。 特别的其更是 $K$ 进 Banach 代数。
  • 推论 1. $T_{d,K}$ 即为 $K[T_1, \dots, T_d]$ 的完备化，其在高斯范数下完备。
  • 命题 2. 取 $f \in T_{d,K}$ 我们有 $|f(x)| \le |f|{Gauss}$， $\forall x \in D^d(\overline{K})$。更多的存在点 $x \in D^d(\overline{K})$ 使得 $|f(x)| = |f|{Gauss}$。
    • 1.2 $T_{d,K}$ 的环性质
  • 3. 所有 Tate 代数的理想是闭子集。
  • 其中 $n \le d$。
  • $$\varphi: x = (x_1, \dots, x_d) \mapsto m_x := { f \in T_{d,K} : f(x) = 0 }$$
  • 2 Huber环
    • 2.1 定义
    • 2.2 定义环的刻画
  • 命题 5. 对于 $A$ 为 Huber 环，子集 $S$ 为定义环当且仅当 $S$ 为开集以及有限的。
  • 3. 稠密定理: 对于 $B \subseteq C$ 为子环且 $B$ 有界且 $C$ 为开，则存在定义环 $A_0$ 使得 $B \subseteq A_0 \subseteq C$。
    • 2.3 Tate环
  • 2. $A = A_0[\frac{1}{\varpi}]$
    • 2.4 有界性条件
  • 引理 4. $A^\circ \subseteq A$ 为拓扑上的子环。
  • 命题 7. 对于 $A$ 为 Huber 环。 如果 $A_0$ 为定义环以及 $f \in A^\circ$ 为级数有界元，则多项式环 $A_0[f]$ 为定义环。
  • 3. $A^\circ$ 为整数闭。
    • 2.5 拓扑幂零元
  • 引理 5. 对于 $A$ 为 Huber 环，则有 $A^{\circ\circ} \subseteq A^\circ$。
  • 2. 拓扑幂零元 $A^{\circ\circ}$ 形成 $A^\circ$-理想的理想根。
  • 命题 10. 对于 $A$ 为 Huber 环，$J \subseteq A$ 为理想。 那么 $J$ 为开的当且仅当 $A^{\circ\circ} \subseteq \sqrt{J}$。
    • 2.6 进制映射
  • 命题 11. 对于 $f: A \to B$ 为 Huber 环的映射， 对于任意 $B$ 的定义环 $B_0$，存在一个 $A$ 的定义环 $A_0$ 使得 $f(A_0) \subseteq B_0$。
  • 3. 对于 $A$ 的有界集 $S$，则有 $f(S) \subseteq B$ 为有界的。
  • 命题 13. 对于 $f: A \to B$ 为 Huber 环的映射。如果 $A$ 为 Tate，则 $B$ 也为 Tate 且 $f$ 为进制的。 特别的对于 $B$ 的定义环 $B_0$ 有 $f(A)B_0 = B$。
  • 3 Huber环的构造
    • 3.1 有理局部化
  • 引理 6. 上述构造出的 $A[\frac{1}{s}]$ 是 Huber 环
  • 定理 2. 定义 11 同样满足有理局部化的条件。
    • 3.2 完备化
  • $$A_0 / I^n \to \hat{A_0} / f(I^n) \cdot \hat{A_0}$$
  • 特别的 $\hat{A}$ 独立于定义对的选择。
  • 2. $\widehat{A^{\circ\circ}} = \hat{A}^{\circ\circ}$。
    • 3.3 张量积
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