本文约定范畴均指局部小范畴.
对函子 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ ，记 $F_{A,B}$ 为 $F$ 在 $\mathcal C(A,B)\to\mathcal D(F(A),F(B))$ 上的作用，称 $F$ 是:
(i)忠实的(faithful):若 $\forall A,B\in\mathcal C$ 有 $F_{A,B}$ 为单射；
(ii)满的(full):若 $\forall A,B\in\mathcal C$ 有 $F_{A,B}$ 为满射.
(i)忠实的(faithful):若 $\forall A,B\in\mathcal C$ 有 $F_{A,B}$ 为单射；
(ii)满的(full):若 $\forall A,B\in\mathcal C$ 有 $F_{A,B}$ 为满射.
称 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 为:
(i)(在对象集上)本质单射:若 $F(A)\cong F(B)$ 当且仅当 $A\cong B$;
(ii)(在对象集上)本质满射:若 $\forall D\in\mathcal D$ ，存在 $C\in\mathcal C,F(C)\cong D$.
(i)(在对象集上)本质单射:若 $F(A)\cong F(B)$ 当且仅当 $A\cong B$;
(ii)(在对象集上)本质满射:若 $\forall D\in\mathcal D$ ，存在 $C\in\mathcal C,F(C)\cong D$.
若 $F$ 是忠实且满的函子(称为全忠实函子)，则 $F$ 本质单的.
由于 $F$ 保同构，故只要证 $F(A)\cong F(B)$ ，则 $A\cong B$.设 $A,B$ 间的同构为 $f:A\to B$.
利用 $F_{A,B},F(B,A)$ 是满态射，取 $g:A\to B,h:B\to A$ 使得 $F(g)=f,F(h)=f^{-1}$.
此时 $F(gh)=F(g)F(h)=\text{id}=F(\text{id})$ ，利用忠实性有 $gh=\text{id}$ ，同理 $hg=\text{id}$ ，得证.
利用 $F_{A,B},F(B,A)$ 是满态射，取 $g:A\to B,h:B\to A$ 使得 $F(g)=f,F(h)=f^{-1}$.
此时 $F(gh)=F(g)F(h)=\text{id}=F(\text{id})$ ，利用忠实性有 $gh=\text{id}$ ，同理 $hg=\text{id}$ ，得证.
全忠实函子不一定单，不一定本质满，例如下图，考虑 $F(C_1)=F(C_2)=D$ ，则 $\mathcal C$ 中的态射集与 $\mathcal D$ 中的态射集总是一个元素，故 $F$ 是全忠实的，但 $F$ 显然不是单的，也不是本质满的.
函子 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ ，$F$ 到 $G$ 的自然变换 $v:F\to G$
包含一族 $\mathcal D$ 中的态射: $v_C:F(C)\to G(C),\forall C\in\mathcal C$ ，满足 $\forall f:C\to C’$ 有 $G(f)v_C=c_{C’}F(f)$.
将对应态射复合得到自然变换的复合，从而得到函子范畴 $\text{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$.
包含一族 $\mathcal D$ 中的态射: $v_C:F(C)\to G(C),\forall C\in\mathcal C$ ，满足 $\forall f:C\to C’$ 有 $G(f)v_C=c_{C’}F(f)$.
将对应态射复合得到自然变换的复合，从而得到函子范畴 $\text{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$.
$F,G\in\text{Fun}(\cal C,\cal D)$ 同构当且仅当存在自然变换 $v:F\to G$ 使得 $v_C$ 为同构对所有 $C\in\cal C$ 成立.
$GL_n,(\dot)^{\times}:\text{CRing}\to \text{Grp}$，则 $\text{det}:GL_n\to (\dot)^{\times}$ 为自然变换.
回忆范畴的同构意即 $\text{Cat}$ 中对象的同构，下面是一个要求较弱的概念.
称 $\cal C$ 与 $\cal D$ 等价是指: $\exists F:\cal C\to \cal D,G:\cal D\to \cal C$ 满足 $FG\cong \text{id}_{\cal D},GF\cong \text{id}_{\cal C}$. 常用 $\cal C\simeq\cal D$ 表示.称 $F$ 为范畴等价，$F,G$ 互为逆函子(pseudo-inverses).
显然范畴同构总是范畴等价，下面是一个等价但不同构的例子.
考虑两个范畴 $\cal C=\text{Set}_{\text{fin}}$ 与它的满子范畴 $\cal D$ ，这里 $\text{Ob}(\cal D)$ 为所有形如 $[n]=\{1,2,\dots,n\},n\in\mathbb N$ 的集合构成构成的集合.这里 $[0]=\emptyset$.
我们说明它们是等价的:
$F:\cal C\to \cal D$ 将 $S$ 映至 $[|S|]$ ， $G:\cal D\to \cal C$ 为嵌入函子. 此时 $FG=\text{id}$ ，$GF\cong\text{id}$.
我们说明它们是等价的:
$F:\cal C\to \cal D$ 将 $S$ 映至 $[|S|]$ ， $G:\cal D\to \cal C$ 为嵌入函子. 此时 $FG=\text{id}$ ，$GF\cong\text{id}$.
$F:\cal C\to \cal D$ ，则下列条件等价:
(i) $F$ 范畴等价;
(ii) $F$ 全忠实且本质满.
(i) $F$ 范畴等价;
(ii) $F$ 全忠实且本质满.
(i) $\Rightarrow$ (ii):
设 $G:\cal D\to\cal C$ 为 $F$ 的逆函子，$\alpha:FG\to\text{id}_{\cal D},\beta:GF\to\text{id}_{\cal C}$ 为自然同构. $A,B\in\cal C$.
设 $G:\cal D\to\cal C$ 为 $F$ 的逆函子，$\alpha:FG\to\text{id}_{\cal D},\beta:GF\to\text{id}_{\cal C}$ 为自然同构. $A,B\in\cal C$.
$\alpha_A^{-1}\circ\alpha_B\circ G\circ F(f)=\alpha_A^{-1}\circ\alpha_A\circ f=f$ ，故 $\alpha_A^{-1}\circ\alpha_B\circ G$ 为 $F_{A,B}$ 的逆映射，从而 $F_{A,B}$ 为双射，即 $F$ 全忠实.
$D\cong F(G(D))$ ，故 $F$ 本质满.
(ii) $\Rightarrow$ (i):
由于 $F$ 本质满，对 $D\in\cal D$ ，存在 $C\in\cal C$ 使得 $D\cong F(C)$ ，定义
$G(D)=C$ ，$\alpha_D:D\to FG(D)$ 为同构.
利用 $F$ 全忠实，为定义 $G$ 在态射上的作用，只需定义(同构意义上) $F\circ G$ .对 $f:D\to D’$ ，定义 $F\circ G(f)=\alpha_{D’}f\alpha_D^{-1}$ .所有 $\alpha_D$ 构成 $\text{id}_{\cal D}$ 与 $FG$ 间的自然同构 $\alpha$.故 $FG\cong\text{id}_{\cal D}$ ，同理 $GF\cong\text{id}_{\cal C}$.
$F:\cal C\to \cal D$ ，则下列条件等价:
(i) $F$ 范畴同构;
(ii) $F$ 全忠实、单且满.
(i) $F$ 范畴同构;
(ii) $F$ 全忠实、单且满.
任务优先
太强了