范畴论(4)

在一个(范畴论中的)叙述 $\sum$ 中，将所有的态射定义域与值域交换，将 $f\circ g$ 与 $g\circ f$ ，得到其对偶叙述 $\sum’$ .由于范畴的公理是自对偶的，所以得到的对偶叙述也满足范畴的公理.

若叙述 $\sum$ 在所有范畴中成立，则其对偶范畴也是.

$\sum$ 在 $\mathcal C^{\text{op}}$ 中成立，故 $\sum’$ 在 $(\mathcal C^{\text{op}})^{\text{op}}=\mathcal C$ 中成立.

$A,B\mathcal C$ 的余积(coprod)是 $(A\coprod B,\text{in}_A,\text{in}_B),\text{in}_A:A\to A\coprod B,\text{in}_B:B\to A\coprod B$ 满足 $\forall C,f:A\to C,g:B\to C$ ，存在唯一的 $h:A\coprod B\to C$ 使得 $h\text{in}_A=f,h\text{in}_B=g$.
类似积，余积可以看作某个以 $(X,f,g),f:A\to X,g:B\to X$ 为对象的范畴中的始对象.

$f,g:A\to B$ 的等子(equalizer)是 $(E,e):e:E\to A$ 满足 $fe=ge$ ，且 $\forall Z,z:Z\to A$ 满足 $fz=gz$ ，存在唯一的 $u:Z\to E$ 使得 $z=eu$.
等子是以 $(Z,z),fz=gz$ 为对象中的范畴中的终对象.显然这里 $e$ 为单射.

等子是图表 $f,g:A\to B$ 的极限.

$f,g:B\to A$ 的余等子(coequalizer)是 $(Q,q):e:A\to Q$ 满足 $qf=qg$ ，且 $\forall Z,z:A\to Z$ 满足 $zf=zg$ ，存在唯一的 $u:Q\to Z$ 使得 $z=uq$.
等子是以 $(Z,z),zf=zg$ 为对象中的始对象.显然这里 $q$ 为满射.

$f:A\to C$ 与 $g:B\to C$ 的拉回(pullback)是 $(P,p_1,p_2)$ 满足 $fp_1=gp_2$ 且任意 $(Z,z_1,z_2),fz_1=gz_2$ ，存在唯一的 $u:Z\to P$ 满足 $p_1z=z_1,p_2z=z_2$.

$f:A\to C$ 与 $g:B\to C$ 的推出(pushout)是 $(P,p_1,p_2)$ 满足 $p_1f=p_2g$ 且任意 $(Z,z_1,z_2),z_1f=z_2g$ ，存在唯一的 $u:P\to Z$ 满足 $zp_1=z_1,zp_2=z_2$.

在一个总存在积、等子的范畴中，总存在拉回. $f:A\to C$ 与 $g:B\to C$ 的拉回可以如下构造:
考虑 $A,B$ 的积 (A\times B,\text{pr}_A,\text{pr}_B) ，$f\text{pr_A},g\text{pr}_B:A\times B\to C$ 的等子 $e:E\to A\times B$ ，则 $(E,\text{pr}_Ae,\text{pr}_Be)$ 即为 $f,g$ 的拉回.

范畴有有限积和等子当且仅当它有拉回和终对象.

“$\Rightarrow$”: 已经证明了拉回的存在性，而终对象即空积也存在.
“$\Leftarrow$”: 设 $\mathcal C$ 上有拉回与终对象 $F$ ，设 $f:A\to F,g:B\to F$ 唯一，则 $f,g$ 的拉回也是 $A\times B$ ，故两项积(从而有限积)存在.设 $f,g:A\to B$ ，则 $A\to B\times B$ ，从而 $A\to B\times B$ 与 $B\to B\times B$ 的拉回即为 $f,g$ 的等子.

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