称态射 $f\in \mathcal C(A,B)$ 为同构(isomorphism):若 $\exists g\in\mathcal C(B,A),g\circ f=\text{id}_A,f\circ g=\text{id}_B$ ;
称态射 $f\in \mathcal C(A,B)$ 为单射(monomorphisms): $\forall Z\in\text{Ob}(\mathcal C),g,g’\in\text {Hom}(Z,A),f\circ g=f\circ g’\Rightarrow g=g’$ ;
称态射 $f\in \mathcal C(A,B)$ 为满射(epimorphisms): $\forall Z\in\text{Ob}(\mathcal C),g,g’\in \text{Hom}(B,Z),g\circ f=g’\circ f\Rightarrow g=g’$；
称态射 $f\in \mathcal C(A,B)$ 为双射(bimorphism): $f$ 既是单射也是满射.
称态射 $f\in \mathcal C(A,B)$ 为单射(monomorphisms): $\forall Z\in\text{Ob}(\mathcal C),g,g’\in\text {Hom}(Z,A),f\circ g=f\circ g’\Rightarrow g=g’$ ;
称态射 $f\in \mathcal C(A,B)$ 为满射(epimorphisms): $\forall Z\in\text{Ob}(\mathcal C),g,g’\in \text{Hom}(B,Z),g\circ f=g’\circ f\Rightarrow g=g’$；
称态射 $f\in \mathcal C(A,B)$ 为双射(bimorphism): $f$ 既是单射也是满射.
定理
同构是等价关系.
$f\in\mathcal C(A,B),g\in\mathcal C(B,C)$,则
(1) $f,g$ 为单(满)射则 $g\circ f$ 为单(满)射;
(2) $g\circ f$ 单射则 $f$ 为单射;
(3) $g\circ f$ 满射则 $g$ 为满射.
(1) $f,g$ 为单(满)射则 $g\circ f$ 为单(满)射;
(2) $g\circ f$ 单射则 $f$ 为单射;
(3) $g\circ f$ 满射则 $g$ 为满射.
若态射 $r\in\mathcal C(A,B),s\in\mathcal C(B,A)$ 若满足 $r\circ s=\text{id}_B$ ，则称 $r$ 为 $s$ 的收缩(retraction),$s$ 为 $r$ 的截面(section).
有截面的态射称为分裂单态射 (split monomorphism)，有收缩的态射称为分裂满态射(split epimorphism).
有截面的态射称为分裂单态射 (split monomorphism)，有收缩的态射称为分裂满态射(split epimorphism).
分裂单(满)态射必为单(满)态射.
设 $f\in\mathcal C(A,B)$ 有截面 $s$ , 则 $\forall g_1,g_2\in\mathcal C(B,\cdot)$ ，若 $g_1\circ f=g_2\circ f$ ，则 $g_1=g_1\circ f \circ s=g_2\circ f\circ s=g_2$ ，故 $f$ 为单射.另一部分同理.
单射即允许左消除，分裂单态射即存在左逆.
态射中，”同构”=”分裂单”+”满”=”分裂满”+”单”.
设 $f$ 是同构，则其逆既是收缩也是截面，从而 $f$ 是分裂单且分裂满的，由上一个定理，$f$ 同时是单的也是满的.
设 $f\in\mathcal C(A,B)$ 是分裂满射也是单射，其的一个截面为 $s$ ，则 $f\circ (s\circ f)=(f\circ s)\circ f=\text{id}_B\circ f=f=f\circ (\text {id}_A)$ ，由单射，$s\circ f= \text{id}_A$ ，从而 $s$ 为 $f$ 的逆.最后一部分同理.
设 $f\in\mathcal C(A,B)$ 是分裂满射也是单射，其的一个截面为 $s$ ，则 $f\circ (s\circ f)=(f\circ s)\circ f=\text{id}_B\circ f=f=f\circ (\text {id}_A)$ ，由单射，$s\circ f= \text{id}_A$ ，从而 $s$ 为 $f$ 的逆.最后一部分同理.
若 $I\in\text{Ob}(\mathcal C)$ 满足 $\forall A\in\text{Ob}(\mathcal C),\text{Hom}(I,A)$ 为单点集，则称 $I$ 为始对象 (initial);
若 $F\in\text{Ob}(\mathcal C)$ 满足 $\forall A\in\text{Ob}(\mathcal C),\text{Hom}(A,F)$ 为单点集，则称 $F$ 为终对象 (final).
若 $F\in\text{Ob}(\mathcal C)$ 满足 $\forall A\in\text{Ob}(\mathcal C),\text{Hom}(A,F)$ 为单点集，则称 $F$ 为终对象 (final).
$\text{Set}$ 中的始对象是空集，终对象为单点集.
定理
始对象(终对象)在同构意义下唯一.
范畴 $\mathcal C$ 中一族对象 $(X_i)_{i\in I}$ 的积(product)指 $\mathcal C$ 的一个对象，记为 $\prod\limits_{i\in I}X_i$ ，配备了 $\text{pr}_i:\prod\limits_{i\in I}X_i\to X_i$ ，称为向第 $i$ 分量的投影(projection).满足如下性质:
$\forall Y\in \mathcal C$ 与一族态射 $f_i:Y\to X_i$ ，存在唯一的 $f:Y\to \prod\limits_{i\in I}X_i$ 使得 $\text{pr}_i\circ f=f_i(\forall i\in I)$ 成立.
$\forall Y\in \mathcal C$ 与一族态射 $f_i:Y\to X_i$ ，存在唯一的 $f:Y\to \prod\limits_{i\in I}X_i$ 使得 $\text{pr}_i\circ f=f_i(\forall i\in I)$ 成立.
集合的Descartes积，群的直积，整数的最大公约数，都可以看作对应范畴的积.
积若存在，则在同构意义下唯一.
我们用终对象的性质来证明.这里以 $I$ 为二元集为例，我们证 $A\times B$ 在同构下唯一.
构造范畴 $\mathcal C_{A,B}$ ，其对象为所有的 $(X,f,g)$ ,这里 $f:X\to A,g: X\to B$. $\mathcal C_{A,B}$ 间的态射定义为 $h:(X,f,g)\to (X’,f’,g’)$ ,若 $f’h=f,g’h=g$.则 $(A\times B,\text{pr}_A,\text{pr}_B)$ 为 $\mathcal C_{A,B}$ 的终对象，在同构下唯一.
构造范畴 $\mathcal C_{A,B}$ ，其对象为所有的 $(X,f,g)$ ,这里 $f:X\to A,g: X\to B$. $\mathcal C_{A,B}$ 间的态射定义为 $h:(X,f,g)\to (X’,f’,g’)$ ,若 $f’h=f,g’h=g$.则 $(A\times B,\text{pr}_A,\text{pr}_B)$ 为 $\mathcal C_{A,B}$ 的终对象，在同构下唯一.
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