迹和范数

定义 (迹和范数)

分别称线性映射\(T_\alpha\)的迹和行列式为\(\alpha\)(在扩张\(L/k\)下)的迹和范数，记为\(\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)\)和\(\mathbf{N}_{L/k}(\alpha)\)

习题

对于\(\alpha,\beta\in L\)，证明\[\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha\beta)=\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)+\operatorname{Tr}_{L/K}(\beta),\qquad\mathbf{N}_{L/K}(\alpha\beta)=\mathbf{N}_{L/K}(\alpha)\mathbf{N}_{L/K}(\beta).\]因此\[\operatorname{Tr}_{L/K}:L\to K \quad \text{和} \quad \mathbf{N}_{L/K}:L^\times \to K^\times\]是群同态

命题

对于有限可分扩张\(L/K\),我们有\[\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\tau \in \operatorname{Hom}_k(L, \overline{k})} \tau\alpha, \quad \operatorname{N}_{L/K}(\alpha)=\prod_{\tau \in \operatorname{Hom}_K(L ,\overline{K})} \tau\alpha.\]

Louise