可除群与同态扩张

本文默认在 $Abel$ 群中讨论.

对 $x\in G$ 可除指 $\forall n\in \mathbb{Z}_+ \Rightarrow \exists y\in G,\text{s.t}\ ny=x$.

称 $G$ 可除指 $G$ 的所有元素均可除.

$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Q}_p,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$为可除群

$\mathbb{Z}$ 、任意有限群不是可除群

可除群的直积、直和、商群都是可除的，可除子群的和也是可除子群，可除元素生成的子群是可除的.

同态将可除元素/子群映射到可除元素/子群.

$G$ 可除 $\Leftrightarrow$ $\forall f:A\rightarrow G,\tau: A\hookrightarrow B,\exists \ \bar f:B\rightarrow G,\bar f\circ\tau=f$.

证明依赖如下的“粘贴”引理：

$A,B\subseteq C,f:A\to G,g:B\to G$ 且 $f,g$ 在 $A\cap B$ 上一致，则 $\exists !\ f+g:A+B\to G,a+b\mapsto f(a)+g(b)$ .

$f+g$ 良定义：$a+b=a’+b’$ ，则 $a-a’=b’-b\in A\cap B$ ，故 $f(a)-f(a’)=f(a-a’)=g(b’-b)=g(b’)-g(b)$ ，即 $(f+g)(a+b)=(f+g)(a’+b’)$ ；$f+g$ 同态，因为 $f,g$ 同态且加法是线性的.

回到原命题：

$\Leftarrow$ ：$\forall x\in G,n\in\mathbb{Z}_+$ ，取 $f:n\mathbb{Z}\to G$ 使 $f(n)=x$ ，则 $\exists \bar f:\mathbb{Z}\to G$ ，$\bar f|{n\mathbb{Z}}=f$ ，则取 $y=f(1)$ 即有 $ny=f(n)=x$ .

$\Rightarrow$ : 考虑 $P={(C,g):A\subseteq C\subseteq B,g:C\to G,g|_A=f}$ ，有 $(A,f)\in P$ 非空。在 $P$ 上定义偏序集，$(C,g)\leq (C’,g’)\Leftrightarrow C\subseteq C’,g’|_C=g$ 。显然 $P$ 中任意一条链在 $P$ 中有上界，用 $\mathrm{Zorn}$ 引理取 $(C,g)$ 为 $P$ 的极大元。若 $C\neq B$ ，则 $\exists x\in B\setminus C$ 。

若 $C\cap\langle x\rangle=\emptyset$ ，即 $C+\langle x\rangle=C\oplus \langle x\rangle$ ，则考虑 $(C\oplus\langle x\rangle,g\oplus 0)>(C,g)$ ，矛盾！

若否，设 $n\in\mathbb{Z}_+$ 最小使得 $nx\in C$ ，由可除性 $\exists z\in G,nz=g(nx)$ ，取 $h:\langle x\rangle\rightarrow G,x\mapsto z$ 则 $g,h$ 在 $C\cap\langle x\rangle=\langle nx\rangle$ 上一致，由引理存在 $g+h:C+\langle x\rangle\to G$ ，此时 $(C+\langle x\rangle,g+h)>(C,f)$ ，也矛盾！

故 $C=B,g=\bar f$ 即为所求.

例题

G为有限Abel群，$\sigma\in G$ 非单位，则 $\sum\limits_{\chi\in \hat G}\chi(\sigma)=0$.

证明：

取 $\langle \sigma \rangle$ 的非平凡特征 $\chi_0$ ，则其可以拓展至 $\chi_1\in \hat G$ ，有 $\chi_1(x)=\chi_0(x)\neq 1$ ，从而 $$\sum\limits_{\chi\in \hat G}\chi(\sigma)\\=\frac{1}{\chi_1(\sigma)-1}(\sum\limits_{\chi\in \hat G}\chi_1\chi(\sigma)-\sum\limits_{\chi\in \hat G}\chi(\sigma))\\=\frac{1}{\chi_1(\sigma)-1}(\sum\limits_{\chi\in \chi_1^{-1}\hat G=\hat G}\chi(\sigma)-\sum\limits_{\chi\in \hat G}\chi(\sigma))=0$$.

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可除群与同态扩张

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