抽象代数启蒙(目录部分,更新中)

"你可以不会证明五阶以上代数方程没有求根公式, 但你不能连置换群的定义都说不出来. "
这是学过而非学会抽象代数的基本要求

目录

1. 集合: “这是苹果, 那是桃子! ” – 世间万物是可以分类的
2. 映射: “把这一堆信, 分别投进这几个绿色的邮筒里. ” – 给每个对象找个归宿
3. 代数运算与代数系统: “把两块积木拼在一起, 组成另一个积木. ” – 合二为一的魔法
4. 运算律, 结合-交换-分配: “先穿裤子再穿内裤是超人! ” – 顺序很重要
5. 同态与同构: “地图上的那条线, 就是我们脚下走的这条路. ” – 都是同一个世界
6. 等价关系与集合的分类: “相同面额的纸币和硬币, 买东西时是一样的. ” – 什么是相等
7. 群 : “按一下开, 再按一下关, 总能回到原样. ” – 可以撤销的系统
8. 阶, 周期群, 无扭群: “每过七天, 又是一个星期一 ” – 周而复始的节奏
9. 子群: “和兄弟姐妹单独坐一桌, 我们也是一家人. ” – 大家庭中的小家庭
10. 循环群, 生成元: “钟表的指针只会顺时针转, 但能够指遍所有的数字. ” – 生成世界
11. 变换群, 对称群: “旋转, 翻转, 缩放, 照片的内容没变,. ” – 按某种方式改变图像
12. 置换群, 交错群: “牌堆还是那堆牌, 只是顺序被打乱了. ” – 有限元素的变换
13. 陪集, 指数与拉格朗日定理’: “所有的奇数加1就是偶数, ” – 把整个队伍平移一步
14. 群在集合上的作用: “转一下桌子, 每个人面前的菜到了下一个人面前. ” – 动作让物品搬家
15. 群的同态与同构的简单性质: “我在跳舞, 影子也在跳一样的舞. ” – 我们的动作是一致的
16. <锐意制作中>

集合

我们不加证明的直接承认集合的相关概念. 集合的概念, 集合的子集, 幂集, 交并差余补
可以证明集合的交并具有幂等性, 交换性, 结合性, 分配性
以及德摩根律