实变函数论与泛函分析, 下册, 修订第2版（夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌）读书笔记
1.线性算子与线性泛函概念
算子概念起源于运算. 例如代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等. 在泛函分析中通常把映照称为算子. 而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数, 简称为泛函. 本文着重考察赋范线性空间上的线性算子, 这是线性泛函分析的主要研究对象之一.
定义1.1：
设 $\Lambda$ 是实数或复数域, $X$ 及 $Y$ 是域 $\Lambda$ 上的两个线性空间, $D$ 是 $X$ 的线性子空间, $T$ 是 $D$ 到 $Y$ 中的一个映照, 对 $x \in D$, 记 $x$ 经 $T$ 映照后的像为 $Tx$ 或者 $T(x)$. 如果对任何 $x、y \in D$ 及数 $\alpha, \beta \in \Lambda$, 成立着
$$T(\alpha x + \beta y) = \alpha T x + \beta T y,$$
就称 $T$ 是线性算子, 称 $D$ 是 $T$ 的定义域, 也记为 $\mathscr{D}(T)$. 而称集 $TD = \{Tx | x \in D\}$ 是 $T$ 的值域(或像域), 记为 $\mathscr{R}(T)$. 取值为实数或复数的线性算子 $T$ (即 $\mathscr{R}(T) \subset \Lambda$) 分别称作实的或复的线性泛函, 通称为线性泛函.
在此处给出一个最常见的例子：线性代数中的线性变换
例 1 设 $R^n$ 是 $n$ 维 (实系数或复系数) 向量空间, 在 $R^n$ 中取一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 相应于任意一个 $n \times n$ 阵 $(t_{\mu\nu})$, 作 $R^n \to R^n$ 的算子 $T$ 如下: 当 $$x = \sum_{\nu=1}^n x_\nu e_\nu \text{ 时}$$ $$y = Tx = \sum_{\mu=1}^n y_\mu e_\mu,$$ 而 $y_\mu = \sum_{\nu=1}^n t_{\mu\nu}x_\nu,\mu = 1,2,\cdots,n$. 显然, 这样定义的 $T$ 是一个线性算子, 这个算子在线性代数中称为线性变换. 算子 $T$ 显然由阵 $(t_{\mu\nu})$ 唯一确定, 有时就直接记为 $T = (t_{\mu\nu})$. 反过来, 设 $T$ 是 $R^n \to R^n$ 的任何一个线性算子, 由于 $Te_\nu$ 是 $e_1,e_2,\cdots,e_n$ 的线性组合, 所以必有阵 $(t_{\mu\nu})$, 使得 $$Te_\nu = t_{1\nu}e_1 + \cdots + t_{n\nu}e_n,\nu = 1,2,\cdots,n. \tag{1.1}$$
因此, 当 $x = \sum_{\nu=1}^n x_\nu e_\nu$ 时, 由 $T$ 的线性可得 $Tx = \sum_{\mu=1}^n y_\mu e_\mu$, 而这里的 $y_\mu = \sum_{\nu=1}^n t_{\mu\nu}x_\nu$, 即 $T$ 是对应于阵 $(t_{\mu\nu})$ 的算子. 由此可知, 在有限维线性空间上, 如果将基选定后, 线性算子与矩阵是相对应的. 设 $(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 是一组数, 那么当 $x = \sum_{\nu=1}^n x_\nu e_\nu \in R^n$ 时 $$f(x) = \sum_{\nu=1}^n \alpha_\nu x_\nu \tag{1.2}$$ 必为 $R^n$ 上的线性泛函. 反过来, 如果 $f$ 是 $R^n$ 上的线性泛函, 记 $\alpha_\nu = f(e_\nu),\nu = 1,2,\cdots,n$. 根据 $f$ 的线性可知, $f$ 必表示为 (1.2) 形式. 由此可知, $n$ 维线性空间上线性泛函与数组 $(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 相对应.
现在引入与线性泛函有关的一些几何概念.
设 $X$ 是线性空间, $f$ 是 $X$ 上的线性泛函. 如果 $f$ 不是零泛函 (即 $f \neq 0$), 那么对任何实数 (或复数, 视空间 $X$ 为实或复空间而定) $c$, 称 $X$ 的子集
$$L_c(f) = \{x | f(x) = c\}$$
为 $X$ 的一个超平面, 它的方程就是 $f(x) = c$. 特别当 $c = 0$ 时, 超平面 $L_c$ 成为 $X$ 的线性子空间, 称为泛函 $f$ 的零空间.
例如 $X$ 是有限维空间 $R^n$ 时, 采用例 1 中记号, 任何一个线性泛函 $f$ 形如 (1.2), 这时超平面 $L_c$ 就是通常所说的超平面
$$\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_n x_n = c.$$
线性泛函 $f$ 除了可能相差一个常数因子外，可以由它的零空间决定出来。关于这一点证明如下: 不妨设 $f \neq 0$. 设 $\mathscr{N}(f)$ (简记为 $\mathscr{N}$) 是 $f$ 的零空间, 那么 $\mathscr{N} \neq X$. 任取 $y_0 \notin \mathscr{N}$, 由于 $f(y_0) \neq 0$, 可以作 $x_0 = \frac{y_0}{f(y_0)}$, 那么就有 $f(x_0) = 1$, 对于空间 $X$ 中任何向量 $x$, 作向量 $y = x – f(x)x_0$, 由于 $f(y) = 0$, 所以 $y \in \mathscr{N}$. 因此对任何 $x \in X$, 必有 $y \in \mathscr{N}$, 使得 $$x = y + f(x)x_0. \tag{1.3}$$ 如果 $g$ 是 $X$ 上的线性泛函, 也是以 $\mathscr{N}$ 为零空间, 那么由 (1.3) 得到 $$g(x) = g(y) + g(x_0)f(x) = g(x_0)f(x),$$ 对一切 $x \in X$ 成立. 即有下面泛函等式: $$g = g(x_0)f,$$ 因此 $g$ 与 $f$ 只相差一个常数因子 $g(x_0)$. 分解式 (1.3) 可以被形象地说成: “非零线性泛函的非零空间实质上是一维的.” 我们也很容易看出, 两个线性泛函 $f$、$g$, 如果对某个 $c \neq 0$, 超平面 $L_c(f)$ 与超平面 $L_c(g)$ 一致, 从而超平面 $f = c’$ ($c’$ 是任意非零数) 与超平面 $g = c’$ 一致, 由此又推出 $\mathscr{N}(f) = \mathscr{N}(g)$ 因此 $$f = g.$$
2. 线性算子的有界性与连续性
在度量空间中已介绍过连续映照的概念. 线性算子由于具有可加性, 所以关于连续性有更进一步的结果.
定理 1.1
设 $T$ 是赋范线性空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 的线性算子. 假如 $T$ 在某一点 $x_0 \in \mathscr{D}(T)$ 连续, 那么在 $\mathscr{D}(T)$ 上处处连续. 证 对任意一点 $x \in \mathscr{D}(T)$, 设 $x_n \in \mathscr{D}(T)$, 且 $x_n \to x$, 于是 $x_n – x + x_0 \to x_0$, 由假设 $T$ 在 $x_0$ 处连续, 所以当 $n \to \infty$ 时, $$T(x_n – x + x_0) = Tx_n – Tx + Tx_0 \to Tx_0,$$ 因此 $Tx_n \to Tx$, 即 $T$ 在 $x$ 点是连续的. 由此可知, 要验证线性算子 $T$ 是连续的, 只需验证 $T$ 在 $x = 0$ 点连续就可以了.
例：有限维赋范空间中线性算子是连续算子. 事实上, 因为有限维赋范线性空间中依范数收敛等价于依 Euclid 范数收敛, 或等价于按坐标收敛. 所以有限维赋范空间中一切线性算子是连续的.
定义 1.2
如果算子 $T$ 将其定义域 $\mathscr{D}(T)$ 中的每个有界集映照成一个有界集, 就称 $T$ 是有界算子. 不是有界的算子就称为无界算子. 赋范线性空间中的相似算子显然是有界的. 通常我们说一个线性算子 $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 中的算子是指 $\mathscr{D}(T) = X$. 用 Zorn 引理可以证明, 任何无限维赋范线性空间上必存在定义在全空间上的无界线性算子.
定理 1.2
设 $T$ 是赋范线性空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 的线性算子. 那么 $T$ 是有界算子的充要条件是存在常数 $M \geq 0$, 使得对一切 $x \in X$ $$\|Tx\| \leq M\|x\|. \tag{1.4}$$
证 设 $T$ 是有界的线性算子, 那么 $T$ 把单位球面 $S = \{y\mid\|y\| = 1,y \in X\}$ 映照成一个有界集, 所以有一个常数 $M \geq 0$, 对于 $y \in S$, 有 $\|Ty\| \leq M$. 当 $x = 0$ 时 (1.4) 自然成立, 当 $x \neq 0$ 时, 作 $y = \frac{x}{\|x\|}$, 那么由 $y \in S$, 得到 $$\left\|T\frac{x}{\|x\|}\right\| = \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \leq M,$$ 因而 (1.4) 对一切 $x \in X$ 成立. 反过来, 如果 (1.4) 成立, 设 $x$ 在一有界集 $A$ 中, 就有常数 $K$, 使得 $x \in A$ 时, $\|x\| \leq K$. 因此由 (1.4), 对一切 $x \in A$ $$\|Tx\| \leq MK,$$ 即 $TA$ 是有界集. 证毕
本文今后如无特殊申明, 有界线性算子的定义域 $\mathscr{D}(T)$ 总假定为是全空间, 即 $\mathscr{D}(T) = X$. 因此, 对赋范线性空间上的线性算子, 以后就可用 (1.4) 作为有界性的定义. 与此相关, 引入下面基本概念.
定义 1.3
设 $T$ 为赋范线性空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 的有界算子, 称 $$\|T\| = \sup_{x\neq 0} \frac{\|Tx\|}{\|x\|}$$ 为算子 $T$ 的范数. 由定理 1.2 立即得到有界线性算子的范数是有限的. $T$, 成立着 $$\|Tx\| \leq \|T\|\|x\| \quad (x \in X) \tag{1.4}$$ 并且还有如下简单性质: $$\|T\| = \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| = \sup_{\|x\|\leq 1} \|Tx\|. \tag{1.5}$$ 事实上, 显然 $\|T\| \geq \sup_{\|x\|\leq 1} \|Tx\| \geq \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|$. 另一方面, 对任何 $y \neq 0$, 由于 $\frac{y}{\|y\|}$ 是范数为 1 的向量, 立即得到 $$\left\|T\frac{y}{\|y\|}\right\| \leq \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|,$$ 上式左边取上确界后得到 $\|T\| \leq \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|$, 由此得到 (1.5). 显然, 当 $T = I$ (单位算子) 时, $\|I\| = 1$. 称 $\|Tx\|/\|x\|$ 为 $T$ 在 $x$ 方向的伸张系数, $\|T\|$ 的几何意义是一切方向伸张系数的上确界.
例 7
对任何 $f \in L[a,b]$, 作 $$(Tf)(x) = \int_a^x f(t)\mathrm{d}t, \tag{1.6}$$ 把 $T$ 视为 $L[a,b] \to C[a,b]$ 的算子时, 那么 $\|T\| = 1$. 事实上, 任取 $f \in L[a,b]$, 使 $\|f\|_L = 1$, 由于 $$ \begin{aligned} \|Tf\|_{C[a,b]} &= \max_{a\leq x\leq b} |(Tf)(x)| = \max_{a\leq x\leq b} \left| \int_a^x f(t)\mathrm{d}t \right| \\ &\leq \max_{a\leq x\leq b} \int_a^x |f(t)|\mathrm{d}t \leq \int_a^b |f(t)|\mathrm{d}t = 1, \end{aligned} $$ 即 $\|T\| \leq 1$. 另一方面, 取 $f_0 = \frac{1}{b-a}$, 显然 $\|f_0\|_L = 1$, 那么又有 $$ \begin{aligned} \|T\| &= \sup_{\|f\|=1} \|Tf\| \geq \|Tf_0\| = \max_{a\leq x\leq b} \int_a^x \frac{1}{b-a} \mathrm{d}t \\ &= \int_a^b \frac{1}{b-a} \mathrm{d}t = 1, \end{aligned} $$ 即 $\|T\| \geq 1$, 所以 $\|T\| = 1$. — 如将 (5.1.6) 式所定义的算子看成 $L[a,b] \to L[a,b]$ 的算子时, 那么 $\|T\| = (b-a)$. 事实上, 任取 $f \in L[a,b]$, 使 $\|f\|_L = 1$, 由于 $$ \begin{aligned} \|Tf\|_L &= \int_a^b \left| \int_a^x f(t)\mathrm{d}t \right| \mathrm{d}x \leq \int_a^b \int_a^x |f(t)|\mathrm{d}t\mathrm{d}x \\ &\leq \int_a^b \int_a^b |f(t)|\mathrm{d}t\mathrm{d}x = \int_a^b 1\mathrm{d}x = (b-a), \end{aligned} $$ 即 $\|T\| \leq (b-a)$. 另一方面, 对任何使得 $a+\frac{1}{n} < b$ 的正整数 $n$, 作函数 $$ f_n(x) = \begin{cases} n, & x \in \left[a,a+\frac{1}{n}\right], \\ 0, & x \in \left(a+\frac{1}{n},b\right], \end{cases} $$ 显然 $\|f_n\|_L = 1$, 而且 $$ \begin{aligned} \|Tf_n\|_L &= \int_a^b \left| \int_a^x f_n(t)\mathrm{d}t \right| \mathrm{d}x = \int_a^{a+\frac{1}{n}} n(x-a)\mathrm{d}x \\ &\quad + \int_{a+\frac{1}{n}}^b 1\mathrm{d}x \\ &= (b-a) – \frac{1}{2n}, \end{aligned} $$ 所以又有 $\|T\| \geq \sup_n \|Tf_n\|_L = (b-a)$. 从而 $\|T\| = (b-a)$. 一般说来, 求出具体算子的范数的值并不容易. 我们来证明对于线性算子而言, 有界性与连续性是等价的.
定理 1.4
设 $X$ 是赋范线性空间, $f$ 是 $X$ 上线性泛函, 那么 $f$ 是连续的充要条件是 $f$ 的零空间 $\mathscr{N} = \{x|f(x) = 0\}$ 为 $X$ 中的闭子空间.
证 必要性: 设 $f$ 是连续线性泛函. 当 $x_n \in \mathscr{N}, x_n \to x$ 时, 由 $f$ 的连续性得到 $f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = 0$. 因此 $x \in \mathscr{N}$. 所以 $\mathscr{N}$ 是闭集. 充分性: 设 $\mathscr{N}$ 是闭集, 如果 $f$ 不是有界的, 那么 $\sup\limits_{\|x\|=1} |f(x)| = \infty$. 因此必有一列点 $x_n$, 适合 $\|x_n\| = 1, |f(x_n)| \geq n$. 作 $$y_n = \frac{x_n}{f(x_n)} – \frac{x_1}{f(x_1)},$$ 那么 $f(y_n) = 0$, 因此 $y_n \in \mathscr{N}$. 然而由于 $$\left\|\frac{x_n}{f(x_n)}\right\| = \frac{1}{|f(x_n)|} \to 0,$$ 这样就得到 $y_n \to -\frac{x_1}{f(x_1)}$. 但是 $f\left(-\frac{x_1}{f(x_1)}\right) = -1$, 即 $-\frac{x_1}{f(x_1)} \notin \mathscr{N}$. 这和 $\mathscr{N}$ 为闭集的性质矛盾, 因此 $f$ 是有界的. 证毕
3.有界线性算子全体所成的空间
现在我们考察线性算子之间的初等运算. 设 $X$、$Y$ 是两个线性空间. 我们以 $(X \to Y)$ 表示由 $X$ 到 $Y$ 的线性算子的全体, 类似于函数的初等运算我们也可引入算子的初等运算. 当 $A,B \in (X \to Y),\alpha$ 是数时, 作算子 $A+B$、$\alpha A$ 如下: 对于任何 $x \in X$, 规定 $$(A+B)x = Ax + Bx,$$ $$(\alpha A)x = \alpha(Ax).$$ 显然, $A+B$、$\alpha A$ 都是属于 $(X \to Y)$. 称 $A+B$ 为算子 $A$ 与 $B$ 的和, $\alpha A$ 为数 $\alpha$ 与 $A$ 的积. 容易知道 $(X \to Y)$ 按照上述的线性运算构成一线性空间. 设 $Z$ 是又一个线性空间, 如果 $B \in (X \to Y),A \in (Y \to Z)$, 作 $X$ 到 $Z$ 的算子如下: $$(A \cdot B)x = A(Bx), \quad x \in X,$$ 显然, $A \cdot B$ 是由 $X$ 到 $Z$ 的线性算子, 称 $A \cdot B$ 为算子 $A$ 与 $B$ 的积, 常简写为 $AB$. 特别地, 当 $X=Y=Z$ 时, 如果 $A,B \in (X \to X)$, 那么 $AB \in (X \to X)$, 并且易知 $(X \to X)$ 按照上述线性运算及乘积成为一个线性代数①, 并以 $I$ 为单位元. 一般说来 $AB$ 不一定等于 $BA$. 如果 $AB=BA$, 就称 $A,B$ 是可交换的. 当 $X,Y$ 是赋范线性空间时, 以 $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 表示由 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子的全体. 假如 $A、B \in \mathfrak{B}(X \to Y)$, 那么 $A+B \in \mathfrak{B}(X \to Y),\alpha A \in \mathfrak{B}(X \to Y)$, 这里 $\alpha$ 是任意的数, 并且 $$\|A+B\| \leq \|A\| + \|B\|, \tag{1.9}$$ $$\|\alpha A\| = |\alpha|\|A\|. \tag{1.10}$$ 等式 (1.10) 是显然的. 至于 (1.9) 可证明如下: 任取 $x \in X$, 那么 $$ \begin{aligned} \|(A+B)x\| &\leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\|\|x\| + \|B\|\|x\| \\ &= (\|A\| + \|B\|)\|x\|, \end{aligned} $$ 从而 (1.9) 成立. 又显然 $\|A\| \geq 0$, 而 $\|A\| = 0$ 只限于 $A = 0$. 所以得到结论如下:
定理 1.5
设 $X,Y$ 是赋范线性空间, $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 是 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子全体, 那么 $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 按通常的线性运算及算子范数成为赋范线性空间.
此后, 如不另外说明, 我们总把 $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 了解为上述的赋范线性空间. 特别地, 对于 $X$ 上的全体连续线性泛函有
设 $X$ 是赋范线性空间. $X$ 上的连续线性泛函全体记作 $X^*$, 它按通常的线性运算及泛函的范数作范数构成一个赋范线性空间, 称为 $X$ 的共轭空间. 设 $X$ 是赋范线性空间, 当 $A,B \in \mathfrak{B}(X \to X)$ 时, $AB$ 也是有界线性算子, 而且 $$\|AB\| \leq \|A\|\|B\|. \tag{1.11}$$ 事实上, 当 $x \in X$ 时 $$\|ABx\| \leq \|A\|\|Bx\| \leq \|A\|\|B\|\|x\|,$$ 从而得到 (1.11). 一般地, 设 $R$ 是赋范线性空间同时又是代数, 如果其中元素的乘积满足 $$\|xy\| \leq \|x\|\|y\|, \tag{1.12}$$ 就称 $R$ 是赋范代数. 因此 $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 是赋范代数, 完备的 (作为赋范空间是完备的) 赋范代数又称为 Banach 代数. 如果在一个 Banach 代数中, 乘法是具有幺元的 (或称单位元的), 称它为具有幺元的 Banach 代数.
定理 1.6
设 $X$ 是赋范线性空间, $Y$ 是 Banach 空间, 那么 $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 是 Banach 空间.
证 设 $\{T_n\}$ 是 $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 中一列元素, 并且是基本的, 即对于任何 $\varepsilon > 0$, 存在 $N$, 当 $n,m \geq N$ 时 $$\|T_n – T_m\| < \varepsilon,$$ 因此对任何 $x \in X$, 当 $n,m \geq N$ 时 $$\|T_n x – T_m x\| \leq \varepsilon\|x\|, \tag{1.13}$$ 所以固定 $x$ 时, $\{T_n x\}$ 是 $Y$ 中的基本点列, 由于 $Y$ 是完备的, 所以存在 $y$, 使得 $$y = \lim_{n\to\infty} T_n x.$$ 作算子 $T$ 如下: 对每个 $x \in X$, 令 $Tx = y = \lim_{n\to\infty} T_n x$. 容易知道 $T$ 是 $X \to Y$ 的线性算子. 在 (1.13) 中, 令 $m \to \infty$, 就得到: 当 $n \geq N$ 时 $$\|T_n x – Tx\| = \lim_{m\to\infty} \|T_n x – T_m x\| \leq \varepsilon\|x\|.$$ 由于 $\varepsilon$ 不依赖于 $x$, 所以上式说明, 当 $n \geq N$ 时 $$\|T_n – T\| = \sup_{\|x\|=1} \|(T_n – T)x\| \leq \varepsilon,$$ 即 $T_n – T \in \mathfrak{B}(X \to Y)$. 从而 $T = T_n + (T – T_n) \in \mathfrak{B}(X \to Y)$, 并且 $$\lim_{n\to\infty} \|T_n – T\| = 0.$$ 因而 $\mathfrak{B}(X \to Y)$ 是完备的赋范线性空间. 证毕
由于实数全体或复数全体以绝对值作为范数时，构成完备赋范线性空间，所以立即得到下面的重要结论。
定理 1.7 赋范线性空间的共轭空间是 Banach 空间. 其次，我们从定理 1.6 还可以得到下面的结果.
定理 1.8 当 $X$ 是 Banach 空间时，那么 $\mathfrak{B}(X \to X)$ 是具有幺元的 Banach 代数. 有关共轭空间的某些基本问题我们将在下一节专门讨论.
下面举一些 Banach 代数的例子.
任务优先