$\cal C,\cal D$ 间的一对伴随函子是指两个函子 $F:\cal C\to\cal D,G:\cal D\to \cal C$ 与一个自然变换 $\eta:\text{id}_{\mathcal C}\to G\circ F$ 满足泛性质: $\forall f:C\to G(D),\exists !g:F(C)\to D,G(g)\eta_C=f$.
或者说有自然同构双射 $\mathcal D(F(C),D)\cong \mathcal C(C,G(D))$.
称 $F$ 是 $G$ 的左伴随，$G$ 是 $F$ 的右伴随，$\eta$ 为它们的伴随单位.记作 $F\dashv G$.
或者说有自然同构双射 $\mathcal D(F(C),D)\cong \mathcal C(C,G(D))$.
称 $F$ 是 $G$ 的左伴随，$G$ 是 $F$ 的右伴随，$\eta$ 为它们的伴随单位.记作 $F\dashv G$.
由 $\text{Mod}_R(A\otimes_R B,C)\cong \text{Mod}_R(A,\text{Mod}_R(B,C))$ 知 $(-)\otimes_R B\dashv \text{Mod}_R(B,-)$ .
$X\in\text{Set}$ 则 $X\times (-)\dashv \text{Set}(X,-)$.
函子 $F:\mathcal C\to \mathcal D$ 有右伴随当且仅当 $\forall C\in\cal C$ 有 $\mathcal C(F(-),C):\mathcal C^{\text{op}}\to \text{Set}$ 可表，即 $\exists x_C\in\mathcal C$ 使得自然同构 $\mathcal C(F(-),C)\cong \mathcal C(-,x_C)$ .
一个函子的左伴随若存在，则在同构意义下唯一.
像 $\text{Set,Grp,Ring}$ 这样的范畴称为具体范畴，它们的态射可以通过限制为集合上的映射确定，即如下定义：
具体范畴 $(\mathcal C,U)$ 是指 $\mathcal C\in\text{Cat},U\in\text{Fun(\mathcal C,\text{Set})}$ 且 $U$ 忠诚，称为遗忘函子，$U(C)$ 称为 $C\in\cal C$ 的底集.
给定具体范畴 $(\mathcal C,U)$ 与集合 $X$ ，则称 $X$ 上的自由对象 $V\in\mathcal C$ 与集合映射 $i:X\to U(V)$ 满足如下泛性质:
由任意的集合映射 $f:X\to U(A)$ 可以延拓为态射 $\bar f:V\to A$ 满足 $U(\bar f)i=f$ .
由任意的集合映射 $f:X\to U(A)$ 可以延拓为态射 $\bar f:V\to A$ 满足 $U(\bar f)i=f$ .
$U$ 为 $\text{Grp}$ 的遗忘函子，则 $U$ 余可表，自由函子是 $U$ 的伴随.
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