给定局部小范畴 $\mathcal C$ ，定义米田嵌入 $y:\mathcal C\to\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set}),y(C)=\mathcal C(-,C)$ ，则对任意反变函子 $F:\mathcal C^{\text{op}}\to \mathcal C$ 有如下集合范畴中的同构:$\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})(y(C),F)\cong F(C)$.
常用 $\oplus$ 或 $\coprod$ 表示余积.
在 $\text{Set}$ 中有 $(A\oplus B)\times C\cong (A\times C)\oplus (B\times C)$.
$\text{Set}(A\times B,C)\cong C^{(A\times B)}\cong (C^B)^A\cong \text{Set}(A,C^B)$.
$\forall X\in\text{Set},\text{Set}((A\oplus B)\times C,X)\cong \text{Set}(A\oplus B,C^X)\cong \text{Set}(A,C^X)\oplus \text{Set}(B,C^X)\cong \text{Set}(A\times C,X)\oplus \text{Set}(B\times C,X)\cong \text{Set}((A\times C)\oplus (B\times C),X)$ ,由米田引理推论(的对偶)得证.
群 $(G,\cdot)$ 可以看作一个所有态射都是同构的独异范畴 $\mathcal C$ ，即 $\text{ob}(\mathcal C)=\{\star\},\mathcal C(\star,\star)=G$，态射看作左乘 $G$ 的元素，态射的复合即为 $G$ 的乘法.
由米田引理，$G=\mathcal C(\star,\star)=y(\star)(\star)\cong\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})(y(\star),y(\star))$ .
自然变换 $v:y(\star)\to y(\star)$ 只由一个映射 $v_\star:G\to G$ 构成，需满足 $\forall g\in G,y(\star)(g)v_\star=v_\star y(\star)(g)$ ，即 $v_\star (hg)=v_\star (h)g,\forall h\in G$. 特别地，取 $h=\text{id}_G$ 有 $v_\star(g)=v_\star(\text{id})g$ ，即 $v_\star$ 为左乘一个固定元素的 $G\to G$ 的映射，反之这种左乘作用也是一个自然变换.
故 $G\cong \{\alpha_g:t\to gt:g\in G\}$ 为 $G$ 上置换群的一个子群.
由米田引理，$G=\mathcal C(\star,\star)=y(\star)(\star)\cong\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})(y(\star),y(\star))$ .
自然变换 $v:y(\star)\to y(\star)$ 只由一个映射 $v_\star:G\to G$ 构成，需满足 $\forall g\in G,y(\star)(g)v_\star=v_\star y(\star)(g)$ ，即 $v_\star (hg)=v_\star (h)g,\forall h\in G$. 特别地，取 $h=\text{id}_G$ 有 $v_\star(g)=v_\star(\text{id})g$ ，即 $v_\star$ 为左乘一个固定元素的 $G\to G$ 的映射，反之这种左乘作用也是一个自然变换.
故 $G\cong \{\alpha_g:t\to gt:g\in G\}$ 为 $G$ 上置换群的一个子群.
给定域 $K$ 与正整数 $k,j$ ，操作 $\tau$ 可以将所有 $k$ 行矩阵变成 $j$ 行矩阵，即 $\forall n,\tau_n:M_{k\times n}\to M_{j\times n}$.
称操作 $v$ 是”自然”的指对任意矩阵 $A,B$ 满足$BA$存在且为 $k$ 行矩阵，则 $v(BA)=v(B)A$.
对自然操作 $v$ ，存在唯一的 $A\in M_{j,k}$ 使得 $v(X)=AX$ 对所有 $k$ 行矩阵 $X$ 成立.
称操作 $v$ 是”自然”的指对任意矩阵 $A,B$ 满足$BA$存在且为 $k$ 行矩阵，则 $v(BA)=v(B)A$.
对自然操作 $v$ ，存在唯一的 $A\in M_{j,k}$ 使得 $v(X)=AX$ 对所有 $k$ 行矩阵 $X$ 成立.
考虑 $K$ 上的矩阵范畴 $\text{Mat}(K)$ ，简记为 $\mathcal M$.其对象为所有正整数，$n$ 到 $m$ 的态射为所有 $m\times n$ 矩阵，态射复合即为矩阵乘法，单位态射即为单位矩阵.
米田函子 $y:\mathcal M\to \text{Fun}(\mathcal M^{\text{op}},\text{Set})$ ，$y(n)=\mathcal M(-,n)$ ，$y(n)(m)=M_{n\times m}$，对 $A:n\to m$ 有 $y(k)(A):B\mapsto BA$.
自然变换 $v:y(k)\to y(j)$ 为一组映射 $(v_{m})_{m\in\mathbb Z_+}$ 满足 $v_n:M_{k\times n}\to M_{j\times n}$ 且 $v_my(k)(A)=y(j)(A)v_n$ ，即 $v_m(BA)=v_n(B)A$.即 $y(k)\to y(j)$ 的自然变换 $v$ 是一个将 $k$ 行矩阵变为 $j$ 行矩阵的”自然”操作.
由米田引理有 $\text{Fun}(\mathcal M^{\text{op}},\text{Set})(y(k),y(j))\cong y(j)(k)=M_{j\times k}$ ，结合米田引理证明的细节知存在 $A\in M_{j\times k}$ 使得 $v(X)=AX$ 对所有 $k$ 行矩阵 $X$ 成立.
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