本文关于米田引理(Yoneda Lemma)，只考虑局部小范畴情况.
$y:\mathcal C\to \text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})$ .
具体地说，$y$ 将 $\mathcal C$ 中的对象 $C$ 变作 $\mathcal C(-,C)$ ，为一个 $\mathcal C$ 到 $\text{Set}$ 的反变 $\text{Hom}$ 函子；
将 $\mathcal C$ 中的态射 $f:C\to C’$ 变作函子范畴中 $\mathcal C(-,C)$ 到 $\mathcal C(-,C’)$ 的态射(左复合 $f$ ).
将 $\mathcal C$ 中的态射 $f:C\to C’$ 变作函子范畴中 $\mathcal C(-,C)$ 到 $\mathcal C(-,C’)$ 的态射(左复合 $f$ ).
$\forall C\in\mathcal{C} , F\in\text{Fun}(\mathcal C^{\text {op}},\text{Set}),\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})(y(C),F)\cong F(C)$ (在 $\text{Set}$ 范畴中).
即 $\mathcal C(-,C)$ 到 $F$ 的所有自然变换与集合 $F(C)$ 一一对应.
取一个自然变换 $v$ : $\forall D,D’\in\mathcal C,f\in\mathcal C(D,D’)$ ，即 $f\in\mathcal C^{\text{op}}(D’,D)$ 有 $F(f)v_{D’}=v_{D}\mathcal C(f,C)$ ，特别取 $D’=C$ ，有 $F(f)v_C=v_D\mathcal C(f,C)$ ，这是一个 $\mathcal C(C,C)\to F(C)\to F(D)$ 的复合映射 .特别地作用在 $\text{id}_C\in\mathcal C(C,C)$ 上有: $F(-)v_C\text{id}_C=v_D(-)$ ，故 $v$ 被 $v_C\text{id}_C\in F(C)$ 唯一确定.
故我们得到了集合范畴中 $\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})(y(C),F)\to F(C)$ 的映射：$v\to v_C\text{id}_C$.
反之对每个 $t\in F(C)$ 可以构造自然变换 $v$ 使得 $v_C\text{id}_C=t$ ：对所有 $D\in\mathcal C,f:D\to C$ 定义 $v_D(f)=F(f)t$ 即可.
称一个函子 $F:\cal C\to\cal D$ 为嵌入(embedding)是指 $F$ 是全忠实且限制在对象集上是单射的.
米田函子将 $\cal C$ 嵌入反变函子范畴 $\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})$.
“在对象集上单射”是平凡的，因为不同的 $C$ 对应的 $\mathcal C(-,C)$ 是不同的(甚至是不交的).
还要验证 $y$ 是全忠实的(即在两个对应的态射集上为双射)，对 $C,D\in\cal C$ ，由米田引理($F=y(D)=\mathcal C(-,D)$) 有 $\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})(y(C),y(D))\cong \mathcal C(C,D)$.
还要验证 $y$ 是全忠实的(即在两个对应的态射集上为双射)，对 $C,D\in\cal C$ ，由米田引理($F=y(D)=\mathcal C(-,D)$) 有 $\text{Fun}(\mathcal C^{\text{op}},\text{Set})(y(C),y(D))\cong \mathcal C(C,D)$.
米田引理(的推论)说明了可以用范畴中所有指向 $C$ 的态射描述对象 $C$ ，本质不同的对象相关的态射本质不同.(这里”本质”意即同构意义下).
即: $\mathcal (-,C)\cong \mathcal C(-,C’)$ 当且仅当 $C\cong C’$.
即: $\mathcal (-,C)\cong \mathcal C(-,C’)$ 当且仅当 $C\cong C’$.
对偶的，可以定义 $y'(C)=\mathcal C(C,-)$ ，有类似的米田引理:
$\forall C\in\mathcal C^{\text{op}},F\in\in\text{Fun}(\mathcal C,\text{Set})$ 有:$\text{Fun}(\mathcal C,\text{Set})\cong F(C)$.
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