范畴论(5)

给定两个范畴 $\mathcal C$ 与 $\mathcal J$，后者称为指标范畴(index category)，其中的对象用小写字母表示.

一个 $\mathcal J$ 型图表(diagram) 是指一个函子 $D:\mathcal J\to \mathcal C$.

$D$ 上的锥范畴(cone category) $\text{Cone}(D)$ 如下定义:
对象称为”锥”，由 $C\in\mathcal C$ 与 $\mathcal C$ 中的一族态射 $(c_i)_{i\in\mathcal J}$ 构成，这里 $c_i:C\to D_i$.
锥之间的态射为 $\mathcal C$ 中的态射，复合为 $\mathcal C$ 中的复合.
我们要求 $u:(C,c_i)\to (C’,c_i’)$ 需满足 $c_i’u=c_i,\forall i\in\mathcal J$.

图表 $D$ 的极限是 $\text{Cone}(D)$ 中的终对象，记作 $\lim D$

终对象可以看作 $\mathcal J$ 为空范畴下的极限;
积 $\prod\limits_{i\in\mathcal J}D_i$ 可以看作指标范畴 $\mathcal J$ 中只有单位态射情况下的极限;
等子 $C\to D_1\rightrightarrows D_2$ 可以看作 $\mathcal J$ 形如 $1\rightrightarrows 2$ 下的极限;
$D_1\to D_3\leftarrow D_2$ 的拉回可以看作$\mathcal J$ 形如 $1\to 3\leftarrow 2$ 的极限.

给定素数 $p$ ，考虑 $\mathcal J=(\mathbb Z_+,\geq)$ ，即正整数 $i\to j$ 当且仅当 $i\geq j$. 函子 $F:\mathcal J\to \text{Ring},k\mapsto \mathbb Z/p^k\mathbb Z$ 的极限称为 $p$ 进整数环，记作 $\mathbb Z_p$.

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