范畴论(3)

函子(functor) $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 是在两个范畴 $\mathcal C,\mathcal D$ 间的一组资料，由:
对象间的映射 $F:\text{Ob}(\mathcal C)\to \text{Ob}(\mathcal D)$ ，态射间的映射 $F:\mathcal C(A,B)\to\mathcal D(F(A),F(B)),\forall A,B\in\mathcal C$ 组成.保持恒等映射且保持态射间的复合.

若有两个首尾相连的函子$F:\mathcal C\to\mathcal D,G:\mathcal D\to\mathcal E$,可以自然地定义它们的复合是一个函子 $G\circ F:\mathcal C\to\mathcal E$ ，其在对象间的映射、态射间的映射定义为映射的复合.

以所有范畴为对象，范畴间的函子为态射，定义的范畴记为 $\text{Cat}$.

从 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的反变函子指的是 $\mathcal C^{\text{op}}$ 到 $\mathcal D$ 的函子.

$\mathcal C$ 为局部小范畴，$A\in\mathcal C$，可以定义函子 $F:\mathcal C\to \text{Set}$ ，它将 $B\in\mathcal C$ 映射至 $\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ ,对 $f :B\to B’$ ，定义其在这个范畴中的映射 $F(f):\text{Hom}(A,B)\to\text{Hom}(A,B’):g\mapsto fg$ .这个函子也记作 $\text{Hom}_{\mathcal C}(A,-)$ .类似可以定义 $\text{Hom}_{\mathcal C}(-,A)$ ，这是一个反变函子.

$\text{Hom}(A,-)$ 保持积: $\text{Hom}(A,B\times C)\cong\text{Hom}(A,B)\times \text{Hom}(A,C)$ .

将群 $G$ 看作范畴，则 $G$ 的群作用与 $G\to\text{Set}$ 的函子一一对应.

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