是一组由对象(object)、对象间态射(morphism)构成的资料，满足一些公理.
称 $\mathcal C$ 为一个范畴是指：
(1) 其对象构成一个类 $text{Ob}(\mathcal C)$;
(2) 任意两个对象间的态射构成一个类: $\forall A,B\in\mathcal C$ ，$\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ 为一个类;
(3) 态射首尾相接可以复合:$\forall f\in\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B),g\in\text{Hom}_{\mathcal C}(B,C),g\circ f\in \text{Hom}_{\mathcal C}(A,C)$;
(4) 单位态射: $\forall A\in\text{Ob}(\mathcal C),\exists \text{id}_A\in\text{Hom}_{\mathcal C}(A,A):\forall B\in\text{Ob}(\mathcal C),\forall f\in \text{Hom}_{\mathcal C}(A,B),f\circ \text{id}_A=f,\forall g\in \text{Hom}_{\mathcal C}(B,A),\text{id}_A\circ g=g$ ;
(5) 结合律: $\forall f\in\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B),g\in\text{Hom}_{\mathcal C }(B,C),h\in\text{Hom}_{\mathcal C}(C,D)$ ，有 $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ ，并记作 $h\circ g\circ f$ .
称 $\mathcal C$ 为一个范畴是指：
(1) 其对象构成一个类 $text{Ob}(\mathcal C)$;
(2) 任意两个对象间的态射构成一个类: $\forall A,B\in\mathcal C$ ，$\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ 为一个类;
(3) 态射首尾相接可以复合:$\forall f\in\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B),g\in\text{Hom}_{\mathcal C}(B,C),g\circ f\in \text{Hom}_{\mathcal C}(A,C)$;
(4) 单位态射: $\forall A\in\text{Ob}(\mathcal C),\exists \text{id}_A\in\text{Hom}_{\mathcal C}(A,A):\forall B\in\text{Ob}(\mathcal C),\forall f\in \text{Hom}_{\mathcal C}(A,B),f\circ \text{id}_A=f,\forall g\in \text{Hom}_{\mathcal C}(B,A),\text{id}_A\circ g=g$ ;
(5) 结合律: $\forall f\in\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B),g\in\text{Hom}_{\mathcal C }(B,C),h\in\text{Hom}_{\mathcal C}(C,D)$ ，有 $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ ，并记作 $h\circ g\circ f$ .
注记
不引起歧义情况下，常用 $\mathcal C(A,B)$ 或 $\text{Hom}(A,B)$ 表示 $\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$，用 $\mathcal C$ 表示 $\text{Ob}(\mathcal C)$ ，用 $f:A\to B$ 或 $A\overset{f}{\to} B$ 表示 $f\in\text{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ .复合常用 $\cdot$ 或 $\circ$ 表示，特殊情况用下标注明范畴.
(一般地)对象与集合不同，不一定有元素，态射也不能与映射一样理解，态射相等不能理解为在每个元素(当对象由元素构成时)的作用效果相同.
同一范畴下，任意两个态射类不交，除非它们的起点与终点相同.
例题
集合范畴 $\text{Set}$ ，对象为所有集合，态射为集合间的映射: $\text{Hom}_{\text{Set}}(A,B)=A^B$.
群范畴 $\text{Grp}$ ，对象为所有群，态射为群同态.
给点域 $k$ 上的向量空间范畴 $\mathbf{Vect}_k$ , 由所有 $k-$ 向量空间及上面的线性映射构成.
范畴 $\mathcal C$ 的对偶范畴 $\mathcal C^{\text{op}}$ 由 $\mathcal C$ 相同的对象，反向的态射构成。即 $\text{Ob}(\mathcal C^{\text{op}})=\text{Ob}(\mathcal C)$，$\forall A,B\in \mathcal C$，${\mathcal C^{\text{op}}}(A,B)={\mathcal C}(B,A)$。 态射的复合 $f\circ_{\text{op}}g=g\circ f$
范畴 $\mathcal C$ 与对象 $A\in\mathcal C$ 的俯范畴 $\mathcal C_A$为 $\mathcal C$ 中指向 $A$ 的态射为对象，满足复合交换的态射为态射构成的范畴.即 $\text {Ob}(\mathcal C_A)=\cup_{X\in \mathcal C}C(X,A)$ , 对俯范畴间的对象 $f:X_1\to A,g:X_2\to A$ ，定义它们的态射为 $\mathcal C_A(f,g)=\{h\in\mathcal {C}(X_1,X_2),g\circ h=f\}$ 态射的复合如下交换图所示.
含幺半群 $G$ 可以看作范畴:单点集 $\{\star\}$ 为对象，态射 $\text{Hom}(\{\star\},\{\star\} )$ 为 $G$ 的所有元素，复合为群运算.
订阅评论
登录
请登录后发表评论
0 评论
最多投票