p进几何

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拓扑环

第 1 章拓扑环基础

1 Tate代数

固定一个质数 $p$。

令 $K$ 为 $Q_p$ 的有限扩张，或者令 $K$ 为 $C_p$ 复扩张。我们令 $K$ 携带有绝对值 $|\cdot|$。令 $O_K = {x \in K : |\cdot| \le 1}$ 表示整数环。 $K$ 的极大理想为 $m = {x \in K : |x| < 1}$。

定义 1. $d$ 元 有限幂级数代数 (restricted power series in $d$ varibales) 为整数环多项式 $O_K[T_1, \dots, T_d]$ 的 $p$ 进完备。

$$
\begin{aligned}
O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle &:= \lim O_K[T_1, \dots, T_d] / (p^n) \
&= \lim (O_K / p^n)[T_1, \dots, T_d]
\end{aligned}
$$

其中 $d$ 元 Tate代数 $/K$ 即为有限幂级数的 局部化 (localization)

$$
\begin{aligned}
T_{d,K} := K\langle T_1, \dots, T_d \rangle &:= O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle \otimes_{O_K} K \
&= O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle [\frac{1}{p}]
\end{aligned}
$$

注意. 事实上对于局部化构造我们可以将 $p$ 换为所有拟一化子 (pseudo uniformizer)。

定义 2. 我们给出几何上的定义，同样先固定 prime $p$。定义理想 $I = (p, T_1, \dots, T_d) \subset O_K[T_1, \dots, T_d]$。其 $I$ 进完备就是幂级数环

$$O_K[[T_1, \dots, T_d]] = \lim O_K[T_1, \dots, T_d] / I^n$$

因为 $(p) \subset I$ 我们得到一个完备意义下的嵌入

$$\iota : O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle \to O_K[[T_1, \dots, T_d]]$$

引理 1. 上述的 $\iota$ 为内射的。其的象形式为

$$O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle \simeq { \sum_{n \in N^d} a_n T^n \in O_K[[T_1, \dots, T_d]] \mid a_n \to 0 \text{ as } |n| \to 0 }$$

其中 $n$ 为 $n$ 元组 $(n_1, \dots, n_d)$ 以及 $T^n = T^{n_1} \dots T^{n_d}$。

证明. 我们仅需构造 $\iota$ 的逆像。先取一元素 $f = \sum a_n T^n$ 则 $\iota(f)$ 应有形式 $(O_K/p^m)[T_1, \dots, T_d]$ 对于某个固定整数 $m$。那么再取其逆向极限我们则定义有 $\varphi(f) \in O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$。仅需证明 $\varphi \circ \iota = \text{id}$ 即可。 $\square$

我们推广到分式环的情况。固定 $K = \text{Frac } O_K$，根据 引理 1 我们可以构造

$$K\langle T_1, \dots, T_d \rangle = { \sum_{n \in N^d} a_n T^n \in K[[T_1, \dots, T_d]] \mid a_n \to 0 \text{ as } |n| \to 0 }$$

我们再考虑一个代数扩张 $\overline{K}/K$，可以得到 $\overline{K}$ 单位圆盘

$$D^d(\overline{K}) := { (x_1, \dots, x_d) \in \overline{K}^d : |x_i| \le 1 }$$

其中 $|\cdot|$ 为代数扩张诱导的赋值。

接下来的引理刻画幂级数 $K[[T_1, \dots, T_d]]$ 在 $D^d(\overline{K})$ 收敛的部分:

引理 2. 对于 $f \in K[[T_1, \dots, T_d]]$ 在 $D^d(\overline{K})$ 中收敛当且仅当 $f$ 在 Tate 代数。

证明. 首先选择 $f = \sum a_n T^n$ 在 $D^d(\overline{K})$ 覆盖，那么其系数和 $\sum a_n$ 收敛，即意味着 $|a_n|$ 在 $|n|$ 趋向无穷时其为零。

对于另一个方向令 $f = \sum a_n T^n \in K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 并且选择 $D^d(\overline{K})$ 上的一组点，即其满足有 $|x_i| \le 1$ 其中赋值 $|\cdot|$ 为代数扩张 $\overline{K}/K$。(注: 代数扩张意味着 $|\cdot|$ 是完备的) 多项式则有

$$|a_n T^n| = |a_{(n_1, \dots, n_d)} x_1^{n_1} \dots x_d^{n_d}| \le |a_n|$$

因为 $|a_n|$ 趋向于零那么其整个多项式 $|a_n T^n|$ 趋向于零。那么 $\sum_{n \in N^d} a_n x^n$ 在 $\overline{K}$ 收敛。 $\square$

注意.
我们可以有不同理解 Tate 代数的方法:

代数上: $T_{d,K} = \lim (O_K/p^n)[T_1, \dots, T_d][\frac{1}{p}]$
分析上: 作为幂级数 $\sum_{n \in N^d} a_n T^n$ 其系数 $|a_n| \to 0$
几何上: $D^d(\overline{K})$ 上的分析函数

1.1 Tate代数的拓扑

我们约定 $O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 上携带的逆向极限为 $p$ 进拓扑。即 $O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 在 $K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 上是开集。特别的我们有

$$K\langle T_1, \dots, T_d \rangle = \bigcup_{n \ge 0} (p^{-n} O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle)$$

接下来我们给出一些 $K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 的刻画

定义 3. 对于 $f = \sum a_n T^n \in T_{d,K}$，我们定义 高斯范数 $|f|_{Gauss}$ 为

$$|f|_{Gauss} := \max(|a_n| : n \in N^d)$$

注意到 $O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle = { f \in T_{d,K} : |f|{Gauss} \le 1 }$ 其中由度规 $d(f,g) := |f-g|{Gauss}$ 即为 $p$ 进拓扑。

引理 3. 高斯范数满足范数性质有：

其是作为 $K$-代数范数。(幂零性，三角不等式，$K$-标量性质)

2. 满足乘法性质。

命题 1. Tate代数 $T_{d,K}$ 相对于高斯范数完备。特别的其更是 $K$ 进 Banach 代数。

证明. 根据构造 $T_{d,K} = O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle \otimes_{O_K} K$ 我们仅需证明开球 $O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 是完备的。注意到由 $|\cdot|_{Gauss}$ 范数诱导的拓扑与开头提到的 $p$ 进拓扑一致，我们可以利用实事幂级环 $O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 在 $p$ 进拓扑完备。 $\square$

推论 1. $T_{d,K}$ 即为 $K[T_1, \dots, T_d]$ 的完备化，其在高斯范数下完备。

证明. 我们用拓扑方法证明，仅需证明 $K[T_1, \dots, T_d]$ 在 $T_{d,K}$ 上稠密，等价于证明 $O_K[T_1, \dots, T_d]$ 稠密。后者在 $p$ 进拓扑下是显然的。 $\square$

考虑代数扩张 $/K$ 可以诱导不同度规，接下来我们证明 $|\cdot|_{Gauss}$ 是极大度规。

命题 2. 取 $f \in T_{d,K}$ 我们有 $|f(x)| \le |f|{Gauss}$， $\forall x \in D^d(\overline{K})$。更多的存在点 $x \in D^d(\overline{K})$ 使得 $|f(x)| = |f|{Gauss}$。

证明. 根据引理可约化为 $|f|_{Gauss} = 1$。先写作 $f = \sum a_n T^n$ 取 $x \in D^d(\overline{K})$，三角不等式有

$$|\sum a_n x^n| \le \max |a_n| \cdot |x^n| \le \max |a_n| = |f|_{Gauss} = 1 \quad (1)$$

去证明点存在，取 $f \in O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$，模去极大理想 $m$ 则得到 $\overline{f} \in K[T_1, \dots, T_d]$。所以存在一些剩余类点 $(\overline{y}1, \dots, \overline{y}_d) \in \overline{k}^d$ 使得 $\overline{f}(\overline{y}_1, \dots, \overline{y}_d) \neq 0$。现在可以提升剩余类点到 $y = (y_1, \dots, y_d) \in \overline{K}^d$ 满足有 $|y_i| \le 1$ 即 $y \in D^d(\overline{K})$ 以及有 $|f(y)| = 1 = |f|{Gauss}$ (因为根据上述构造 $f(y)$ 是 $O_{\overline{K}}$ 的单位元)。 $\square$

1.2 $T_{d,K}$ 的环性质

定理 1. [5] [Theorem 1.1.5]
Tate代数 $T_{d,K}$ 满足以下性质:

$T_{d,K}$ 是诺特、正规且唯一分解环，其局部化 $(T_{d,K})m$ 有维度 $d$，其剩余域 $T{d,K}/m$ 为 $k$ 的有限扩张。
$T_{d,K}$ 是雅克布森的: $\forall p \in T_{d,K}$ 落在 $\cap_{p \subseteq m} m$ 上。

3. 所有 Tate 代数的理想是闭子集。

证明.
证明 $T_{d,K}$ 诺特性通过对维度 $d$ 归纳:
考虑 $f \in a \subseteq T_{d,K}$ 使得 $|f|=1$ 则等价于去证明 $T_{d,K}/(f)$ 是诺特的。应用诺特正规化到 $T_{d,K}/(f)$ 有

$$K\langle T_1, \dots, T_n \rangle \hookrightarrow K\langle T_1, \dots, T_d \rangle / (f)$$

其中 $n \le d$。根据归纳假设 $T_{n,K}$ 诺特则证明定理。
其余见 [4] [Theorem 1.1.5]。 $\square$

同样的 $T_{d,K}$ 满足 Noether 正规化。

命题 3. 令 $a \subseteq K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 为闭理想。则存在一个有限、内射的 $K$-代数映射满足

$$\varphi: K\langle T_1, \dots, T_n \rangle \hookrightarrow K\langle T_1, \dots, T_d \rangle / a \quad (2)$$

其中 $n \le d$。

证明. 先证明 $\varphi$ 的存在性:
令 $b = a \cap O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 和 $B = O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle / b$。因为 $b \subseteq a$ 以及 $b K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$ 我们则有 $B = \lim B/p^n$ 以及

$$B/p^n = (O_K/p^n \langle T_1, \dots, T_d \rangle) / b$$

对 $B/m = k[T_1, \dots, T_d]/b$ 使用诺特正规化定理则给出一个有限内射的映射 $k[X_1, \dots, X_n] \hookrightarrow B/m$。提升到 $O_K$ 有 $O_K[X_1, \dots, X_n] \hookrightarrow B$。根据构造 $B$ 是 $p$-进完备的，则诱导出 $\varphi: O_K\langle X_1, \dots, X_n \rangle \hookrightarrow B$。

接下来证明内射: 我们使用同样的技巧考虑 $B/m$ 不为零以及 $B$ 是 $O_K$ 扭零的，则提升到 $B$ 及可以证明内射。

再证明 $\varphi$ 有限: 我们先证明映射

$$O_K[X_1, \dots, X_n]/p \to B/p$$

是有限的。这等价于证明 $B/p$ 在 $O_K/p[X_1, \dots, X_n]$ 是整的。最后利用 $p$ 进中山引理 [1] [Prop. 3.4.2] 即可提升到 $B$，证明其有限。 $\square$

接下来我们给出 Tate 代数极大理想的刻画。

命题 4. 对于极大理想集合 Max$(T_{d,K})$ 以及单位圆盘 $D^d(\overline{K})$ 的伽罗瓦作用 $\text{Gal}(\overline{K}/K)$ 的轨迹满足一一对应。具体的映射为

$$\varphi: x = (x_1, \dots, x_d) \mapsto m_x := { f \in T_{d,K} : f(x) = 0 }$$

证明. 见 [1] [3.5.1]。 $\square$

2 Huber环

2.1 定义

我们先回忆拓扑环的定义: 一个拓扑环即为 $(A, +, \cdot)$ 配上拓扑使得加法、逆元以及乘法是连续的。其中乘法自然诱导乘积拓扑。并且 $A$ 要求幺的。对于拓扑群见 [16]。

接下来给出 Huber 环的定义，这是进制空间的基本要素。

定义 4.
一个 Huber环 即为拓扑环 $A$ 满足有一个开子环 $A_0$ 使得对于 $I \subseteq A_0$ 满足:

$A_0$ 的拓扑满足 $I$ 进拓扑。
$I$ 是有限生成的。

注意.
我们给出一些概念的描述:

$I$ 进拓扑 即为要求子群 $U \ni 0$ 是开的，等价为存在 $n \in N$ 使得 $I^n \subset U$。这决定了零点的开邻域。但是 $I$ 不一定为 $A$ 的理想。
对于一个 Huber 环，$A_0$ 称为 定义环 (RoD)，任意这样的 $I$ 称为 定义理想 (IoD)。这样的 $(A_0, I)$ 称为 定义对 (PoD)。

例.
注意到 $Q_p$ 以及 $C_p$ 为非阿基米德域，我们给出一些 Huber 环的刻画:

$Q_p$ 携带有 $p$ 进拓扑 (由范数 $||\cdot||_p$ 诱导) 为 Huber 环，其中的一个定义环为 $Z_p$ 为开以及为子环。零的邻域基由开球 $B(0, p^{-n}) = { ||x||_p \le p^{-n} }$ 给出。则 $x \in B(0, p^{-n})$ 当且仅当 $p^n |x|$，等价于 $x \in p^n Z_p$。则定义理想即为 $(p)$。则 $(Z_p, (p))$ 为 $Q_p$ 的一组定义对。
同样的因为 $C_p$ 为 $Q_p$ 的复化，则其一对定义对为 $(O_{C_p}, p)$。

定义 5. 非阿基米德域 即为完备拓扑域 $K$ 使得其拓扑诱导出一个非平凡的非阿基米德范数:
$$||\cdot||: K \to R_{\ge 0}$$
更多的非阿基米德域都是 Huber 环。其中定义环为 $A_0 := O_K = { ||x|| \le 1 }$ 以及定义理想为 $I = { \varpi A_0 }$，其中 $\varpi \in A_0$ 则为范数为 $||\varpi|| < 1$ 的元素。称为 拟一化子。

例.
更多的 Huber 环例子:

Tate 代数 $T_{d,K} = K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$: 令 $K$ 为非阿基米德域，$O_K$ 为整数环由拟一化子 $\varpi$。则 Tate 代数的一个定义环则为 $A_0 = O_K\langle T_1, \dots, T_d \rangle$，定义理想为
$$\varpi A_0 = { f \in A_0 : ||f||_{\text{Gauss}} \le ||\varpi|| } = { f \in A_0 : a_n \in \varpi O_K, \forall n }$$
对于 $A$ 拓扑环和 $I \subseteq A$ 为有限生成理想。若 $A$ 代有 $I$ 进拓扑，则 $A$ 带有拓扑环的结构 (需要检查加法、逆元和乘积连续)。其定义环则为 $A$ 自身。
对于 $A = Z_p[[t]]$。如果考虑理想 $m = (p, t), I = (p)$ 和 $J = (t)$。现在我们可以令 $A$ 为 Huber 环配备三种不同的拓扑，并且得到三种不同的拓扑环。惯例上我们总是配备 $A$ 有 $m = (p, T)$ 进拓扑。
如果 $I = (0)$ 则我们为 $A$ 配备了离散拓扑。

2.2 定义环的刻画

本节目标是给定一个 Huber 环 $A$，如何确定一个子环为定义环。我们先给出一个拓扑判据。

定义 6. 对于拓扑环 $A$。其子集 $S \subseteq A$ 称为 有界的 (bounded)，如果对于带零邻域 $U \ni 0$，存在对应的开邻域 $V \ni 0$ 使得 $SV \subseteq U$。

注意. 特别的 $SV = { sv \in A : s \in S, v \in V }$。

我们给出判据

命题 5. 对于 $A$ 为 Huber 环，子集 $S$ 为定义环当且仅当 $S$ 为开集以及有限的。

证明. 假设 $S$ 为定义环。开集从定义环的定义可知。证明有限:
令 $I$ 为定义理想，则根据定义任何 $U \ni 0$ 满足级数 $I^n \subseteq U$。再令 $V = I^n$ 则给出有界。

证明另一个方向: 假设存在 $A$ 的定义对 $(B_0, J)$，且设置 $S = A_0$ 其为开。定义理想的性质有 $J^n \subseteq A$，利用 $J^n$ 也是定义理想，可以约化为 $J \subseteq A_0$。接下来仅需证明存在对应 $A_0$ 的定义对和 $(B_0, J)$ 相等。令 $J$ 的生成元 $(f_1, \dots, f_d)$ 为 $B_0$ 理想。定义一个 $A_0$ 理想 $I = \sum A_0 f_i \subseteq A$。接下来仅需证明 $I$ 进拓扑和 $J$ 进拓扑相等。 $\square$

更多的我们有以下推论:

推论 2.
对于 $A$ 为 Huber 环有

对于 $A_0$ 和 $B_0$ 为定义环，交 $A_0 \cap B_0$ 以及乘积 $A_0 \cdot B_0$ 也是定义环。
如果 $B \subseteq A$ 为开子环，根据上述判据 $B$ 也是 Huber 环。

3. 稠密定理: 对于 $B \subseteq C$ 为子环且 $B$ 有界且 $C$ 为开，则存在定义环 $A_0$ 使得 $B \subseteq A_0 \subseteq C$。

2.3 Tate环

我们研究一类特别重要的 Huber 环。其在完美胚空间中发挥重要作用。

定义 7. Huber 环称为 Tate 环 如果存在单位元 $\varpi \in A^\times$ 使得 $\lim_{n \to \infty} \varpi = 0$，即任意 $m$ 存在 $N \gg 0$ 满足 $\varpi^n \in I^m, \forall n$。这样的元素称为 拟一化子。

注意.
(1) 对于 $A$ 为 Tate 环带有拟一化子 $\varpi$，令 $(A_0, I)$ 为定义对。根据 $\varpi$ 定义我们可以选择 $n \ge 1$ 使得 $\varpi^n \in I$。即 $\varpi^n$ 也是一个拟一化子。
(2) $\varpi$ 也是满足拓扑幂零性质的单位元。

命题 6.
对于 $A$ 为 Tate 环以及拟一化子 $\varpi$。定义对 $(A_0, I)$ 有

$A_0$ 上的拓扑等价于 $\varpi A_0$ 进拓扑。

2. $A = A_0[\frac{1}{\varpi}]$

证明.
(1) 不失一般的可假设 $\varpi \in I$。使用拓扑环性质有 $A_0 \ni \varpi$ 满足 $\varpi A_0 \subseteq A_0$。利用 $\varpi$ 性质则有 $I^n \subseteq \varpi A_0$。但根据假设 $\varpi \in I$ 有乘法 $\varpi A_0 \subseteq I$，则 $A_0$ 的拓扑即为 $\varpi$ 进拓扑。
(2) 必要性平凡，我们仅考虑充分性: 取 $f \in A$ 以及拓扑环定义有 $f \cdot A_0 \subseteq A_0$，利用 $\varpi \in A_0$ 以及拟一化子定义存在 $n$ 使得 $f \cdot \varpi^n A_0 \subseteq A_0$。即 $f \in A_0[\frac{1}{\varpi}]$。 $\square$

例.
我们给出一些 Tate 环的例子

任何非阿基米德域的 Tate 代数都是 Tate 环
任何完美胚环都是 Tate 环
携带 $(p, t)$ 进拓扑的拓扑环 $Z_p[[t]]$ 不是 Tate 环。

2.4 有界性条件

本节发展 Huber 环的有界性质，即考察 Huber 环的并集是否有限。

定义 8. 对于 $A$ 为拓扑环，$f \in A$ 为 级数有界 (power-bounded) 如果级数 ${1, f, f^2, f^3, \dots}$ 为有界子集 $A$。定义 $A^\circ := { f \in A ; f \text{为级数有界} }$。

例. 对于 $A = C_p\langle T \rangle$，取 $T \in A^\circ$ 有 $A^\circ = O_{C_p}\langle T \rangle$。

引理 4. $A^\circ \subseteq A$ 为拓扑上的子环。

证明. 平凡 $\square$

命题 7. 对于 $A$ 为 Huber 环。如果 $A_0$ 为定义环以及 $f \in A^\circ$ 为级数有界元，则多项式环 $A_0[f]$ 为定义环。

证明. 根据 Huber 环判据等价于证明 $A_0[f]$ 为开且有界。开集性来自 $A_0 \subseteq A_0[f]$。对于 $I \subseteq A_0$ 定义理想，因为 $f \in A^\circ$ 根据级数有界元定义存在 $n \in N$ 使得 $f^m I^n \subset I, \forall m \ge 0$。利用理想吸收性有 $A_0[f] \cdot I^n \subseteq I$，即证明 $A_0[f]$ 为有界。从而是一定义环。 $\square$

下面给出级数有限环的拓扑刻画

命题 8.
对于 $A$ 为 Huber 环有:

级数有界环为所有定义环之和即 $A^\circ = \cup A_0$。
$A^\circ \subseteq A$ 为开子环

3. $A^\circ$ 为整数闭。

证明. 对于 (1): 令 $A_0$ 为定义环，根据定义其则为有界并且满足 $f^n \cdot A_0 \subseteq A_0$ (称为 $A_0$ 对指数化封闭)，那么我们有 $A_0 \subseteq A^\circ$。对于另一个方向: 令 $f \in A^\circ$。如果 $A_0$ 为定义环，根据前一个 命题 7 有 $A_0[f]$ 是包含 $f$ 的定义环。得到 $\cup A_0 \subseteq A^\circ$。其余部分平凡。 $\square$

注意. 我们并没有宣称 Huber 环的 $A^\circ$ 环一定是有界和定义环的。考虑反例 $A = Q_p[\epsilon]$ 其中 $\epsilon$ 为平方平凡元。

2.5 拓扑幂零元

我们本节介绍一类特别的级数有界环:

定义 9. 对于 $A$ 为拓扑环，$f \in A$ 称为 拓扑幂零元 (topological nilpotent) 如果对于任意 $U \ni 0$ 我们有 $f^n \in U$ 对于 $n \gg 0$。记为 $\lim f^n = 0$。
约定其的集为
$$A^{\circ\circ} = { f \in A ; f \text{为拓扑幂零元} }$$

我们给出子环性质:

引理 5. 对于 $A$ 为 Huber 环，则有 $A^{\circ\circ} \subseteq A^\circ$。

证明. 固定定义环 $A_0$。令 $f \in A^{\circ\circ}$，根据幂零元定义有 $f^m \in A_0$ 对于 $m > m_0$ 对于某些固定的 $m_0$。然后幂集合可以用 $m_0$ 分割为 ${1, f, f^2, \dots} \subseteq A^\circ \cup {1, \dots, f^{m_0}}$，从而 $f \in A^\circ$。 $\square$

接下来的定义刻画拓扑幂零环作为定义理想的并。

命题 9.
对于拓扑环 $A$ 有

$A^{\circ\circ} = \cup I$ 对于 $I$ 为 $A$ 的定义理想。

2. 拓扑幂零元 $A^{\circ\circ}$ 形成 $A^\circ$-理想的理想根。

证明.
(1): 仿照 命题 8 证明类似假设存在定义对 $(A_0, J)$，用拓扑幂零元构造理想 $I$。在证明 $I$ 进拓扑与 $J$ 进拓扑相同。则最后得到 $I$ 为定义理想。
(2): 见 [11] [I, 1.2.4]。 $\square$

命题 10. 对于 $A$ 为 Huber 环，$J \subseteq A$ 为理想。那么 $J$ 为开的当且仅当 $A^{\circ\circ} \subseteq \sqrt{J}$。

证明. 如果 $J$ 为开理想，则 $J \ni 0$ 为包含 $0$ 的开邻域。所以对于任意 $a \in A^{\circ\circ}$，有 $a^n \in J$ 对于 $n \gg 0$。则根据雅克布森根性质有 $A^{\circ\circ} \subseteq \sqrt{J}$。

相反的假设 $A^{\circ\circ} \subseteq \sqrt{J}$，令 $(A_0, J)$ 为定义对，利用 $A^{\circ\circ} = \cup I$ 有 $I \subseteq A^{\circ\circ} \subseteq \sqrt{J}$。因为 $I$ 为有限生成，有生成元 $I = (f_1, \dots, f_d)$ 有 $f_1, \dots, f_d \in A$。则存在 $N$ 使得 $f_i^N \in J, \forall i$。则有 $I^{dN} \subseteq J$ 证明了 $J$ 为开集。 $\square$

更多的性质 $A^{\circ\circ}$ 和 $A^\circ$ 见 [11] [I, 1.2]。

例.
我们给出一些例子:

$(R, |\cdot|)$ 有级数有界环 $R^\circ = { |x| \le 1 }$ 以及幂零集 $R^{\circ\circ} = { |x| < 1 }$。
$(Q_p, |\cdot|_p)$ 有 $Q_p^\circ = Z_p$ 以及幂零集 $Q_p^{\circ\circ} = p Z_p$ 且为定义理想。
$(C_p, |\cdot|_p)$ 有 $C_p^\circ = { |x|_p \le 1 }$ 以及 $C_p^{\circ\circ} = m$，然而并不是定义理想。
Tate 代数有 $C_p\langle T \rangle$ 有 $C_p\langle T \rangle^\circ = O_{C_p}\langle T \rangle$，其幂零元为
$$C_p\langle T \rangle^{\circ\circ} = { \sum a_n T^n ; \forall n : a_n \in m }$$

2.6 进制映射

本节研究 Huber 环的映射。首先拓扑环的映射 $f$ 满足连续环映射。我们先讨论 $f$ 是否和定义环相容。

命题 11. 对于 $f: A \to B$ 为 Huber 环的映射，对于任意 $B$ 的定义环 $B_0$，存在一个 $A$ 的定义环 $A_0$ 使得 $f(A_0) \subseteq B_0$。

证明. 根据 Huber 环判据等价于证明 $A_0$ 为开的且有界。令 $A_0’$ 为 $A$ 的定义环， $B_0$ 为 $B$ 的定义环。那么其逆 $f^{-1}(B_0)$ 为 $A$ 的开子环，则有构造 $A_0′ \cap f^{-1}(B_0) = A_0$ 为开集和有界。(开集交也一定为开。) $\square$

警告. 一般来说定义理想和环映射并不相容: $f(I) \cdot B_0 \subseteq B$ 不一定为定义理想。

注意到连续映射不一定相容于有界性，因为我们考虑以下定义:

定义 10. 对于 Huber 环以及 $f: A \to B$ 为环映射。我们称 $f$ 为 进制的 (adic) 如果存在 $A$ 的定义对 $(A_0, I)$ 以及 $B_0$ 为 $B$ 的定义环满足 $f(A_0) \subseteq B_0$ 使得 $f(I) \cdot B_0$ 为 $B$ 的定义理想。

例.
我们给出一些例子和反例:

如果 $f$ 为连续和开集，则 $f$ 是进制的
对于 $A = Q_p$ 携带 $I = (0)$ 进拓扑 (离散拓扑) 以及 $B = Q_p$ 携带 $p$ 进拓扑。单位映射 $f = \text{id}_{Q_p}$ 为连续但不进制。因为 $f(A)$ 并不在 $B$ 有界。
取 $\iota: Z_p \hookrightarrow Z_p[[t]]$ 其中 $Z_p$ 携带 $p$ 进拓扑，$Z_p[[t]]$ 携带 $(p,t)$ 进拓扑。同样 $\iota$ 不是进制的。

我们给出进制的性映射的性质，特别的进制映射与有界性相容。

命题 12.
对于 $f: A \to B$ 为进制空间，则有

$f$ 为连续的。
如果 $A_0, B_0$ 为定义环使得 $f(A_0) \subseteq B_0$，那么 $f(I) \cdot B_0$ 为 $B_0$ 的定义理想。

3. 对于 $A$ 的有界集 $S$，则有 $f(S) \subseteq B$ 为有界的。

证明.
对于 $f$ 进制映射，存在定义对 $(\tilde{A_0}, \tilde{I})$ 使得 $f(\tilde{A_0}) \subseteq \tilde{B_0}$ 以及定义理想满足 $f(\tilde{I}) \cdot \tilde{B_0}$ 为 $B$ 的定义理想。并且定义 $J := f(\tilde{I}) \cdot \tilde{B_0}$:

$\forall n \ge 1$: $f^{-1}(J^n) = f^{-1}(f(\tilde{I}^n) \cdot \tilde{B_0}) \supset \tilde{I}^n$。则有 $f^{-1}(J^n)$ 是开集的。
根据 $f$ 为进制映射有 $f(A_0) \subseteq B_0$ 以及 $I$ 为 $A_0$ 的定义理想。考虑 $A_1 := A_0 \cdot \tilde{A_0}$, $B_1 = B_0 \cdot \tilde{B_0}$。则根据定义环的乘积封闭。则我们有 $f(A_1) \subseteq B_1$。则我们有 $f(\tilde{I})B_1 \subseteq B_1$ 为 $B$ 的定义理想。
接下来证明 $(f(I A_1)B)^n = f((IA_1)^n) B_1 \subseteq f(\tilde{I} A_1) B_1$; $(f(\tilde{I} A_1)B_1)^m = (f(\tilde{I} A_1)^m) B_1 \subseteq f(I A_1) B_1$。
通过二次包含则有 $f(\tilde{I} A_1) B_1 = f(I A_1) B_1$。同时注意到 $f(I A_1) B_1 = (f(I) B_0) B_1$，则有 $f(I) B_0$ 则为 $B_0$ 的定义理想。
取 $U$ 为含零的 $B$ 的开邻域，不失一般的在 $J$ 进拓扑有 $U = J^n$ 对于一些 $n \ge 1$。取 $V$ 为含零开邻域使得 $SV \subseteq \tilde{I}^n$。同样的不失一般的在 $I$ 进拓扑有 $V = \tilde{I}^m$。那么 $f(S) \cdot f(\tilde{I})^m = f(S \tilde{I}^m) \subseteq f(\tilde{I}^n) \subseteq J^n$，则有 $f(S) J^m \subseteq J^n$。 $\square$

接下来我们给出一个进制映射的判据。

命题 13. 对于 $f: A \to B$ 为 Huber 环的映射。如果 $A$ 为 Tate，则 $B$ 也为 Tate 且 $f$ 为进制的。特别的对于 $B$ 的定义环 $B_0$ 有 $f(A)B_0 = B$。

证明. 根据 $f$ 与定义环相容，我们总是可以选定 $B_0, A_0$ 使得 $f(A_0) \subseteq B_0$。因为 $A$ 为 Tate 环，存在一个拟一化子 $\varpi$，我们可以假设 $\varpi \in A_0$。那么接下来只需证明 $f(\varpi) \in B_0$ 是拟一化子。这是平凡的。

最后证明第二个论断，根据 Tate 环的局部化构造 $B = B_0[\frac{1}{\varpi}]$，则有 $f(A)B_0 = B$。 $\square$

3 Huber环的构造

本节考虑局部化，完备化与张量积的操作构造 Huber 环。

3.1 有理局部化

在代数几何中的仿射概型 $\text{Spec } R$， Zariski 拓扑的基底由开集 $\text{Spec } R_f$ 给出，其中 $R_f = R[\frac{1}{f}]$ 为 $R$ 在 $S = {1, f, f^2, \dots}$。那么我们有 $\text{Spec } R_f \cong { x \in \text{Spec } R ; f(x) \neq 0 }$。

然而在非阿基米德域中开集通过构造赋值的不等式给出。

定义 11. 对于 $A$ 一对 Huber 环带有定义对 $(A_0, I)$。令 $f_1, \dots, f_n, s \in A$ 使得 $A$-理想 $a := A f_1 + \dots + A f_n + A s \subseteq A$ 为开理想。接下来我们定义:

定义 $A(\frac{f_1, \dots, f_n}{s}) = A[\frac{1}{s}] = S^{-1}A$
对于子集 $A_0^\times = A_0[\frac{f_1}{s}, \dots, \frac{f_n}{s}] \subseteq A[\frac{1}{s}]$。令 $A_0^\times$ 携带 $I A_0^\times$ 进拓扑可以使得 $A_0$ 为开子环。

注意. 局部化自然诱导出 $\iota: A \to S^{-1}A$。

引理 6. 上述构造出的 $A[\frac{1}{s}]$ 是 Huber 环

证明. 令 $I^\times := I A_0^\times$，我们需要证明对于任意一个 $f \in A[\frac{1}{s}]$，存在 $n \gg 0$ 使得 $f(I^\times)^n \subseteq A_0^\times$。 $\square$

更本质来说，上述构造即要求我们把 $\frac{f_i}{s}$ 换成定义环。即要求 $\frac{f_i}{s}$ 为级数有界的。

定义 12. 对于 Huber 环，令 $T = {f_1, \dots f_n} \subseteq A$， $s \in A$ 使得 $A f_1 + \dots + A f_n + A s \subseteq A$ 为开。那么 $A^\times$ 称为 $A$ 的有理局部化 (rational localization of $A$)。对于 $(T, s)$ 满足以下性质:

$A^\times$ 为 Huber 环
映射 $A \to A^\times$ 为连续的
$A \to A^\times$ 满足局部化泛性质: 即对于任意 Huber 环 $\varphi: A \to B$ 满足 $\varphi(s)$ 为单位元以及 $\varphi(\frac{f_i}{s})$ 为级数优先多 (power bounded)。

接下来我们证明这两种定义实际一致。

定理 2. 定义 11 同样满足有理局部化的条件。

证明. 平凡。 $\square$

注意 1. 我们再给出一些有理局部化的推广

定理 2 表明有理局部化与选择的定义对 $(A_0, I)$ 无关
局部化泛性质对于非阿基米德环亦然成立
事实上 $s$ 的选择是平凡的由于 $A(\frac{f_1, \dots, f_n}{s}) = A(\frac{f_1, \dots, f_n, s}{s})$
取 $(T_i){i \in I}, (s_i){i \in I}$ 我们可以推广到 $A(\frac{T}{S}) = A(\frac{T_i}{s_i}; i \in I)$。特别的我们仅需要要求 $A$ 是非阿基米德的即可得到有理局部化是 Huber 环。证明见 [11] [I. 3.4]。

例 1. 我们考虑单元 Tate 代数 $K\langle T \rangle = T_{1,K}$。因为 $T_{1,K}$ 为 $K[T]$ 的完备化，我们令 $A = K[T]$ 有定义对 $(A_0 = O_K[T], I = \varpi O_K[T])$ (因为 $A$ 同样是 Tate 的)。
据 定义 12 我们需要找到 $A$-理想 $a = A T + A \varpi \subseteq A$。

那么我们给出有理局部化为 $A(\frac{T}{\varpi}) = K[T]$。
$A$ 上的拓扑原先由含零拓扑基 $\varpi^n O_K[T]$ 给出。
局部化后其拓扑为:
$$\varpi^n A_0[\frac{T}{\varpi}] = \varpi^n O_K[T, \frac{T}{\varpi}] = \varpi^n O_K[\frac{T}{\varpi}]$$
可以证明其为含零邻域基。

3.2 完备化

首先回忆完备化定义，令 $A_0$ 为含理想 $I$ 的环，$A_0$ 称为 $I$ 进完备如果有同构:

$$A_0 \to \lim A_0 / I^n$$

内射化 [^1] 来自事实 $\cap I^n = 0$，使得 $A_0$ 在 $I$ 进拓扑是 Hausdorff 的。

定理 3. 令 $\hat{A} = \lim A_0 / I^n$ 以及 $f: A_0 \to \hat{A_0}$。假设 $I$ 为有限生成的，则有

$\hat{A_0}$ 为 $f(I) \cdot \hat{A_0}$-完备
对于任意 $n \in N$ 有同构

$$A_0 / I^n \to \hat{A_0} / f(I^n) \cdot \hat{A_0}$$

证明. 见 [15] [Tag 05GG] $\square$

注意.

如果 $I$ 不有限生成，会出现非完备的完备化。见 [15] [Tag 05JA]
我们事实上并不需要诺特假设，若 $A_0$ 为诺特的有 $\hat{A_0}$ 为平坦 $A_0$-代数。
$\hat{A_0}$ 独立于定义理想 $I$。

我们的目标是构造 Huber 环的完备化。但是对于 Huber 环的定义对 $(A_0, I)$ 中 $I$ 不一定是 $A$ 的理想，但其应该是一个开子群。先回忆 $A$ 为阿贝尔拓扑群是第一可数的，即我们说数列 $(x_n)_{n \in N}$ 是 Cauchy 的，如果对于每一个含零邻域 $U \subseteq A$，存在 $N_0 \in N$ 使得 $x_m – x_n \in U, \forall n, m \ge N_0$。

我们先定义拓扑群的完备化。

定义 13. 拓扑群 $A$ 是 完备的 如果 $A$ 是 Hausdorff 的而且每一个 Cauchy 数列收敛。

完备化阿贝尔群的细节见 [11] [I. 3.1]。下面的定理描述 Huber 环的完备化:

定理 4. 对于 $A$ 为 Huber 环，定义对为 $(A_0, I)$ 其构成逆向极限 $\hat{A} = \lim A/I^n$ 为阿贝尔群。则有以下结论

正规映射 $\hat{A_0} \to \hat{A}$ 为内射的。对于自然含入 $i: A \to \hat{A}$ 满足 $i(A) \cap \hat{A_0} = i(A_0)$。
考虑 $\hat{A}$ 的拓扑下，$\hat{A}_0$ 为开子群。更多的阿贝尔拓扑群 $\hat{A}$ 是完备的
存在一个唯一的环结构使得 $\iota: A \to \hat{A}$。存在阿贝尔拓扑群 $\hat{A}$ 是完备的。
Huber 环 $\hat{A}$ 是一个 Huber 环满足有定义对 $(\hat{A}_0, I \cdot \hat{A_0})$。同时 $\iota$ 是进制的并且满足完备化泛性质。

特别的 $\hat{A}$ 独立于定义对的选择。

证明.

去证明内射的: 因为 $\hat{A_0} / I^n \to \hat{A} / I^n$ 是内射的，在利用逆极限作为函子是正和的，所以有内射 $\hat{A}_0 \to \hat{A}$ 的。去证明相等的，因为含入有 $i(A_0) \subseteq i(A) \cap \hat{A}_0$。去证明另一个方向，假设 $i(a) \in \hat{A}_0$，等价于证明 $a \in A_0$。
根据定义 $\hat{A}_0$ 为 Hausdroff 以及是含零开集，并且 $\hat{A}$ 为 Hausdroff 的，则我们有 $\hat{A_0}$ 在 $\hat{A}$ 中是完备的并且开集，则得到证明。
见 [9] [Chap 1 Ex. 4.11]。
根据 (2) 有 $\hat{A}_0$ 有 $f(I)\hat{A}_0$-拓扑，则 $\hat{A}$ 为 Huber 环，则我们等价于证明 $f: A \to \hat{A}$ 是进制的，其源自其的构造。 $\square$

定义 14. 对于 $A$ 为 Huber 环，则 $\hat{A}$ 满足 定理 4 的 Huber 环称为 $A$ 的 完备化。

我们研究级数有限环以及拓扑幂零环的完备化。

引理 7. 对于 $A$ 为 Huber 环则有

$\widehat{A^\circ} = \hat{A}^\circ$。

2. $\widehat{A^{\circ\circ}} = \hat{A}^{\circ\circ}$。

3.3 张量积

对于 Huber 环映射有 $A \to B, A \to C$ 我们定义张量积 $D := B \otimes_A C$ 到 Huber 环且满足以下泛性质:

自然映射 $B \to D, C \to D$ 为连续的
存在定义环 $D_0$ 为各自定义环的张量积 $B_0 \otimes C_0$。

警告 1. 但这并不是总是满足第二条性质。见例子 [11] [Example I. 3.2.2]。令 $A = A_0 = Z_p$ 有 $p$-进拓扑，
$B = B_0 = Z_p[[t]]$ 带有 $(p,t)$-进拓扑，$C = Q_p$ 则其定义环 $C_0 = Z_p$。我们定义 Huber 环的张量积有

$$D = B \otimes C = Z_p[[t]] \otimes_{Z_p} Q_p = Z_p[[t]][1/p]$$

自然的我们可以定义定义环的张量积为 $D_0 = Z_p[[t]]$ 但是这并不是 $D$ 的定义环因为其并不是含零开集。

以上问题的本质实际上来自 $f: A \to B$ 并不是进制的。所以进制空间的纤维积会引起问题。

[^1]: 该事实来自 Krull 相交定理。见 [15] [Tag 00IP]

赋值与赋值谱

进制谱

进制空间

完全胚代数与完全胚空间

几乎纯性定理